Свойства кольца
1) Умножение дистрибутивно относительно вычитания, т.е.
Доказательство.
2) Доказательство. Т.к. Утверждение, обратное свойству 2), неверно. А именно, существуют кольца, в которых произведение двух ненулевых элементов равно нулю, т.е Аналогично, 3) Если
Доказательство.
4) Доказательство.
4°.Поле, свойства поля. Пусть P – множество, содержащие не менее двух элементов. Определение 10. Множество 1) (P;+) – абелева группа. 2) (P\{0}; 3) Умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.
Т.о., поле – это коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей, в котором все ненулевые элементы составляют мультипликативную группу.
|
.
.
.
. Аналогично доказывается, что 
.
но 
. Такие кольца называются кольцами с делителями нуля. Например, множество 
непрерывных функций – кольцо с делителями нуля. Действительно, если 
, 
− множество матриц размера 
− кольцо с делителями нуля.
− отличный от нуля элемент из 
, не являющийся делителем нуля, и
(закон сокращения в кольце). Аналогично, 
с заданными на нём алгебраическими операциями сложения + и умножения 
называется полем и обозначается (
), если:
