Основные типы алгебраических структур
1°.Алгебраические операции. Алгебра − наука об алгебраических операциях. Пусть X − произвольное множество. Определение 1. n-арной алгебраической операцией на X называется отображение Задача. Пусть Алгебраические операции при n=1 называются унарными, при n=2 – бинарными, n=3 – тернарными. Далее, как правило, будут рассматриваться бинарные операции. Если Определение 2. Множество X с конкретной алгебраической операцией называется алгебраической структурой. На одном и том же множестве X могут быть заданы различные алгебраические структуры. Примеры (алгебраических операций и алгебраических структур). 1. 2. 4. Деление не является алгебраической операцией на R, так как не определено деление на нуль. Однако оно является алгебраической операцией на 5-8. То же самое для С. 9. 10. Скалярное произведение не является алгебраической операцией на множестве векторов, т.к. 11. 12. Как правило, алгебраическая операция на конечном множестве может быть задана с помощью таблицы Кэли, которая описывает результат операции на любой паре элементов множества. Рассмотрим множество, состоящее из 3-х элементов: {Доска, Окно, Тряпка} (кратко {Д, О, Т}). Введем следующую операцию, обозначаемую
13. Примерами тернарных операций на 1) 2) 3) Обычно полезно изучать операции со специальными свойствами. Определение 3. Бинарная операция Задача. Пусть
|
. Т.е. 
n-компонентному элементу 
однозначно ставится в соответствие элемент 
.
. Сколько 
n -арных алгебраических операций на 
? Ответ. Таких операций 
, то пишут 
или 
. Операции на X обозначают символами 
. Последний символ используется для операции сложения, остальные − для операции умножения.
так, что 
имеем 
3. 
.
.
- множество всех отображений 
относительно операции композиции 
является алгебраической структурой.
(символ операции). Соответствующую таблицу Кэли можно выбрать в виде
2
являются:
.
.
.
; ассоциативной, если 
выполняется 
.
. Сколько 
.
