Позиционные системы счисления

Если значение цифры или символа зависит от позиции в ряду цифр или символов изображающих число, то такая система счисления называется позиционной. Примером позиционной системы счисления является используемая нами десятичная система счисления. В ней любое число записывается с помощью десяти цифр: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Например, в записи 777 цифра 7 встречается три раза, но в каждой позиции она имеет разный смысл: крайняя левая цифра 7 означает сотни, следующая - десятки, и следующая цифра 7 - единицы. Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили наибольшее распространение.

Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе – разрядностью числа. Крайняя слева цифра называется цифрой старшего разряда, а крайняя справа – цифрой младшего разряда.

Позиционная система счисления характеризуется основанием. Основание позиционной системы счисления – количество знаков или символов, используемых в разрядах для отображения числа в данной системе счисления. В современных компьютерах используют позиционные системы счисления с основаниями: 2, 8, 10, 16, 32.

Любое число в позиционной системе счисления со степенными весами разрядов можно представить в виде ряда:

 

(2.6)

 

где, А _q - запись числа в системе счисления с основанием q;

q - основание системы счисления;

a_i - целое положительное число, меньше q;

n – число разрядов в целой части числа;

m – число разрядов в дробной части числа.

Таким образом, любое число можно разложить в сумму по степеням основания системы счисления в виде (2.6).

На практике используют сокращенную запись чисел, т.е.

(2.7)

 

Так как за основание q можно принять любое целое число, возможно множество позиционных систем, например, двоичная, восьмеричная, десятеричная, шестнадцатеричная. При этом в двоичной системе алфавит состоит из двух цифр: 0 и 1; в десятеричной – из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; в шестнадцатеричной – из цифр 0…9 и символов А, B, C, D, E, F для обозначения цифр 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.Восьмеричная система счисления используется в ЭВМ для кодирования команд в целях сокращения записи.

Шестнадцатеричная система счисления широко применяется для написания кодов операций констант и других специальных слов, не требующих перевода в десятичную систему счисления.

В таблице 2.1 приведен алфавит для четырех систем счисления.

Таблица 2.1 – Алфавит систем счисления

 

Основание	Название	Алфавит
	двоичная	0 1
	восьмеричная	0 1 2 3 4 5 6 7
	десятичная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
	шестнадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

 

Чем больше основание системы счисления, тем меньшее число разрядов требуется для представления данного числа, следовательно, и меньшее время для его передачи. Однако, с ростом основания существенно повышаются требования к аппаратуре формирования и распознавания элементарных сигналов, соответствующих различным символам. Логические элементы вычислительных устройств в этом случае должны иметь большее число устойчивых состояний.

Десятичная система счисления, привычная для нас в повседневной жизни, также не является наилучшей для использования в ЭВМ. Так как функциональные элементы с десятью устойчивыми состояниями имеют низкую скорость переключения и, таким образом, не могут удовлетворять требованиям, предъявляемым к ЭВМ по быстродействию.

В большинстве случаев в ЭВМ используют двоичные или двоично-кодированные системы счисления. Широкое распространение этих систем обусловлено тем, что элементы ЭВМ способны находиться лишь в одном из двух устойчивых состояний. Задача различения сигналов сводится в этом случае к задаче обнаружения (есть импульс или его нет), что значительно проще. Если одно из таких устойчивых состояний принято за 0, а другое – за 1, то достаточно просто изображаются разряды двоичного числа. Любому дискретному сообщению или знаку сообщения можно присвоить какой-либо порядковый номер Так будет получен один из кодов, основанный на данной системе счисления.

Таким образом, системы счисления используются для построения на их основе различных кодов в системах передачи, хранения и преобразования информации.