Арифметические действия над двоичными числами

В компьютерах для записи чисел используется двоичная система счисления. В этой системе для представления любого числа используются два символа — цифры 0 и 1. Основание системы счисления

Произвольное число с помощью формулы можно представить в виде разложения по степеням двойки:

(2.8)

 

Таким образом, все числа в двоичной системе счисления составляются из цифр 0 или 1. Например, x = (110011,1101)₂. Двоичное представление числа требует примерно в 3,3 раза большего числа разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее, применение двоичной системы счисления создает большие удобства для работы ЭВМ, так как для представления в машине разряда двоичного числа может быть использован любой запоминающий элемент, имеющий два устойчивых состояния.

Арифметические действия над одноразрядными двоичными числами выполняются по следующим правилам:

 

		(2.9)

 

При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и перенос единицы из соседнего младшего разряда, если он имеется. При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий.

 

Пример 7. Выполнить сложение двоичных чисел:

а) X=1101, Y=101;

Результат 1101+101=10010.

б) X=1101, Y=101, Z=111;

Результат 1101+101+111=11001.

 

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум 1 данного разряда.

 

Пример 8. Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X-Y.

Результат 10010 - 101=1101.

Умножение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных с помощью таблиц двоичного умножения и сложения.

 

Пример 9. 1001 101=?

Результат 1001 101=101101.

 

Деление двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных. При этом используются таблицы двоичного умножения и вычитания.

Пример 10. 1100.011: 10.01=?

Результат 1100.011: 10.01=101.1.

 

2.2.4. Перевод чисел в различные позиционные системы счисления

ЭВМ работают с двоичными кодами, пользователю удобнее иметь дело с десятичными или шестнадцатеричными кодами. Возникает необходимость перевода числа из одной системы счисления в другую. Любое число по специальным правилам можно перевести из одной системы счисления в другую. Рассмотрим эти правила.

Допустим, число Х из системы счисления с основанием q требуется перевести в систему счисления с основанием p. Числа, имеющие целую и дробные части, переводятся в два этапа: вначале целая часть числа, а затем дробная.

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую осуществляется по следующему правилу:

- целую часть числа делим на новое основание p;

- полученный от деления первый остаток является младшей цифрой целой части числа с основанием р;

- деление будем производить до тех пор, пока не получим частное меньше делителя;

- последнее частное дает старшую цифру числа с основанием р

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую. Предположим, что правильную дробь Х, представленную в системе с основанием q, требуется перевести в систему счисления с основанием р. Перевод осуществляется по следующему правилу:

- исходное число умножаем на новое основание р;

- полученная при этом целая часть произведения является первой искомой цифрой;

- дробную часть снова умножаем на основание р и т.д.

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится по формуле (2.6). Затем подсчитывается значение суммы.