Оптико-механическая аналогия Гамильтона

 

Оптико-механическая аналогия Гамильтона.

Полученное нами в предыдущем разделе волновое уравнение:

или для случая трёх пространственных координат:

универсально и описывает распространение малых возмущений не только в механических средах. Например, электромагнитные колебания в вакууме распространяются в виде трёхмерных волн. Имеется, однако, глубокая внутренняя связь общих принципов механики и теории волн. Эту связь, открытую ещё Гамильтоном, называют оптико-механической аналогией. Как известно, гармоническая волна описывает периодический во времени и пространстве колебательный процесс. Для этих целей рассмотрим уравнение, описывающее распространение одномерной гармонической волны в пространстве. При этом будем учитывать аналогию, установленную нами в предыдущем разделе:

тогда соответственно уравнение одномерной гармонической волны:

может быть записано в виде:

при этом будет считать, что такая волна распространяется в пространстве по закону синуса. В результате, после соответствующих преобразований, имеем:

 

Учитывая выражения вида:

а также:

где

представляет собой волновой вектор. Тогда соответствующие уравнения для плоских бегущих волн можно представить к виду:

Для последующих выкладок удобней представить полученные выражения в экспоненциальной форме. При этом ограничимся рассмотрением лишь таких волн, которые распространяются вдоль оси в прямом направлении.

Легко показать, что выбранное в соответствии с описанными выше физически осмысленными условиями решение, соответствует уравнению плоской волны. Так, имеем соответственно:

В соответствии с условием:

последнее может быть переписано в виде:

где выражения:

частные решения соответствующего дифференциального уравнения. Необходимо отметить, что одно из частных решений будет комплексно сопряжённым другому. При этом суперпозиция соответствующих частных решений, образуют стоячую волну, состоящую из двух бегущих волн. Таким образом, в соответствии с выше приведенными соображениями, имеем:

Из полученного уравнения достаточно хорошо видно, что волновая функция есть произведение координатной волновой функции на член, выражающий зависимость её от времени, т.е.

Распространяя приведенные выше соображения на случай трёх пространственных координат, имеем:

Из явного вида волновой функции следует, что значение волнового поля в точке в момент зависит от величины:

Функцию называют фазой гармонической волны. С помощью величины вводится удобный геометрический образ – волновой фронт (волновая поверхность). По определению, волновой фронт – это поверхность постоянной фазы:

в заданный момент времени . Естественно считать, что направление, в котором более всего увеличивается фаза волны, и является направлением распространением волны. Изменение значения фазы в течении некоторого времени, эквивалентно перемещению фронта волны и таким образом, направление распространения фронта волны будет полностью определять движение волнового поля. С понятием волнового фронта тесно связано понятие луча. Уже было сказано, что направление, в котором быстрее всего увеличивается фаза волны, есть направление распространения волны (волнового фронта). Так, при обсуждении вариационных принципов механики указывалось, что направление скорейшего возрастания функции в точке задаётся градиентом . Следовательно, для произвольной фазы вектор и есть искомый. В случае же плоской волны, имеем соответственно:

то есть действительно, введенный ранее волновой вектор будет определять направление распространения волны. Для произвольной волны данное соотношение в общем случае можно воспринимать как определение локального волнового вектора. С таким локальным волновым вектором тесно связано понятие луча как аналога силовой линии для семейства эквипотенциальных поверхностей. В общем случае луч – линия, касательная к которой совпадает с направлением распространения волны. Иными словами, в каждой точке луча, касательный вектор будет, по сути, совпадать по своему определению с локальным волновым вектором. Отсюда следует, что лучи ортогональны волновому фронту. Данные рассуждения не случайно напоминают ситуацию с механическими траекториями. Но подобно тому, как прямолинейное движение – частный случай механического движения, так и гармонические волны отвечают лишь частным случаям волновых процессов. Необходимо отметить, что понятие луча становится неформальным лишь тогда, когда длина волны и энергия волны переносится по узкой трубке вдоль луча. При относительно малых , допустимо пренебрежение типично волновыми процессами – интерференцией и дифракцией. В этом случае распространение волн хорошо описывается с помощью геометрических построений с лучами. Оптика лучей позволяет придать точный смысл аналогии траекторий и лучей. Выясним, как упрощается волновое уравнение в пределе . Сосредоточим интерес на фазе волны и именно для неё получим приближённое уравнение. При , фаза достаточно велика , поэтому в условиях геометрической оптики будут велики и модуль локального волнового вектора, и значение самой фазы:

и как следствие:

Волновую функцию в этом случае представляем в виде:

или

Амплитуда в этих выражениях слабо зависит от , то есть намного меньше, чем . Пример этому – сферическая волна при . Поэтому в дальнейших выкладках считаем константой. Проводим вычисления только для одномерной задачи:

Подставим уравнение волны в соответствующее волновое уравнение:

Вычисления дают:

Вторая производная в полученном выражении считается намного меньшей квадрата первой (локально почти плоские волны). Поэтому, соответственно:

По тем же причинам , так что – преобладающий член по сравнению с и таким образом:

Соответственно, волновое уравнение:

переходит в уравнение для фазы:

Но градиент фазы есть локальный волновой вектор:

С его длиной можно отождествить частоту:

и соответственно:

Сравнивая полученные выше выражения:

и

видим, что с точностью до знака, полностью совпадает с частотой . Пример плоской волны , позволяет уточнить эту связь:

Итак, лучи характеризуются функцией координат и времени – фазой , удовлетворяющей соотношениям:

где – касательный вектор луча. В то же время механические траектории также характеризуются функцией координат и времени – действием , причём как было выяснено уже ранее:

 

Эта поразительная аналогия терминов механики частиц и оптики лучей:

имеет глубокое физическое содержание. Действительно, из аналогии:

следует, что вариационному принципу механики должен отвечать свой вариационный принцип в геометрической оптике. Вид последнего легко показать, пользуясь соответствием:

Частота как аналог энергии на всём пути (луче) должна оставаться неизменной. Физически это обеспечивается стационарностью оптической среды – неизменностью во времени функции . Оптико-механическая аналогия наводит на мысль, а не является ли сама классическая механика (как аналог геометрической оптики) предельным случаем некоторой более общей теории. В самом деле, аналогию:

можно углубить, введя коэффициент перехода между величинами справа и слева. Обозначив этот коэффициент , будем иметь соответственно:

то есть величина является универсальным коэффициентом перехода от волновых понятий к механическим. Очевидно, что имеет размерность действия, где – безразмерная величина. Видно, что требование для выполнения геометрической оптики означает, условием справедливости классической механики можно считать предел, при котором:

Рассуждения, приведшие к уравнениям:

а также пределу отношения:

стали возможны лишь с обнаружением экспериментальных фактов, не укладывающихся в рамки привычного классического описания. Многочисленные исследования привели к необходимости создания более общей теории, которую поначалу называли волновой механикой. Однако наиболее существенной стороной новой теории было квантование – существование для многих физических величин лишь дискретного ряда допустимых значений. Поэтому термин «волновая механика» со временем уступил место более современному – «квантовая механика».