Группа, свойства группыОпределение 7. Непустое множество G с заданной алгебраической операцией называется группой, если 1) – ассоциативная операция; 2) в G нейтральный элемент ; 3) симметричный элемент из Если – коммутативная операция, то группа называется коммутативной или абелевой. Операция, относительно которой G − группа, называется групповой операцией. Если групповая операция − умножение, то группа называется мультипликативной, если – сложение, то G – аддитивная группа. Примеры. 1. (N,+) – коммутативная полугруппа без нейтрального элемента. 2. (N, ) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом. 3. (Z, +) – аддитивная абелева группа. 4. (Q, +) – аддитивная абелева группа. 5. (R, +) – аддитивная абелева группа. 6. (R, ) – абелева полугруппа с нейтральным элементом. 7. (R ) – мультипликативная абелева группа. 8. – абелева группа: . 9. Множество векторов на плоскости или в пространстве относительно операции сложения образуют абелеву группу.
|