Примеры колец. 1. (Z; +, ), (Q; +, ), (R; +, ) образуют коммутативные кольца с единицей относител1. (Z; +, ), (Q; +, ), (R; +, ) образуют коммутативные кольца с единицей относительно обычных операций сложения и умножения. 2. Множество {0}, содержащее лишь одно число 0, образует кольцо, называемое нулевым кольцом. 3. Множество непрерывных на отрезке функций с операциями + и , определенными следующим образом: , , образует коммутативное кольцо с единицей. 4. Множество V3 всех векторов пространства относительно операций сложения векторов и векторного произведения векторов не образует кольцо. 5. Рассмотрим пространство битовых строк (последовательностей длины , состоящих из нулей и единиц), относительно операций (исключающее «или») и (логическое умножение), которые задаются таблицами:
Например, (1010) (0110)=(1100); (1010) (0110)=(0010). Операции и − алгебраические, нейтральный элемент – нулевая битовая строка (0…0). Для каждой битовой строки противоположным элементом является эта же битовая строка. Доказательство коммутативности, ассоциативности операций и и дистрибутивность логического умножения относительно операции сводятся к доказательству этих свойств для битовых строк длиной 1, которое проводится прямыми вычислениями. Таким образом, пространство битовых строк с операциями , является кольцом, которое обозначается . Это кольцо является коммутативным кольцом с единицей. Так как (;+) абелева группа, то противоположный элемент . Поэтому в К можно ввести операцию вычитания: .В силу свойства группы единственное решение уравнения .
|