Подполугруппа, подгруппа

Пусть − бинарная алгебраическая операция на .

Определение 11. Подмножество называется замкнутым относительно , если выполняется

Если подмножество множества замкнуто относительно , то на определена операция: каждой паре ставится в соответствие

Определение 12. Такая операция на называется операцией, индуцированной операцией .

Утверждение 3. Пусть − полугруппа и замкнуто относительно Тогда является полугруппой относительно индуцированной операции.

Доказательство. Длядоказательства леммы достаточно показать, что операция ассоциативна на множестве Это очевидно, так как все элементы являются элементами , а на введенная операция ассоциативна.■

Определение 13. Пусть − полугруппа. Подмножество , замкнутое относительно , называется подполугруппой.

Пример. (Z ) − полугруппа (и даже группа), а (N ) − подполугруппа (но не группа).

Определение 14. Пусть пара () – группа. называется подгруппой, если X замкнуто относительно , и X − группа относительно индуцированной операции.

Определение 15. Пусть тройка (P;+, ) − кольцо (поле). Подмножество называется подкольцом (подполем), если Y замкнуто относительно + и и Y является кольцом (полем).

Пример. (Q; +, ) −;подполе в поле (R; +, ).

Теорема 5. Пусть () – группа. является подгруппой в

1) X замкнуто относительно ;

2) , где − нейтральный элемент в ;

3) существует .

Доказательство. Достаточность − очевидна.

Необходимость. Пусть − подгруппа в . Тогда условие 1) выполнено по определению подгруппы.

Проверим условие 2). Так как − подгруппа, то − нейтральный элемент в . Докажем, что , то есть совпадает с нейтральным элементом в . Действительно, умножим равенство на (симметричный элемент к в смысле , то есть ). С одной стороны имеем: , с другой − . Отсюда следует, что .

Осталось проверить 3). Пусть . Тогда , являющийся симметричным в , то есть . Это и означает выполнение условия 3).■

Аналогичные теоремы доказываются для подколец и подполей.

Теорема 6. Если в группе взяты две подгруппы и , то их пересечение , то есть совокупность элементов, лежащих одновременно в обоих множествах, также будет подгруппой группы .

Доказательство. Действительно, если в пересечении содержатся элементы и , то они лежат в подгруппе , а потому в лежат и произведение , и симметричный элемент . По тем же соображениям элементы и принадлежат подгруппе , а потому они входят и в .■

Интересный пример подгруппы − циклические подгруппы. Вначале введем некоторые понятия. Если − элемент группы , то n- ой степенью элемента называется произведение n элементов, равных . Отрицательные степени элемента вводятся как произведения сомножителей, равных . Легко видеть, что . Для доказательства достаточно взять произведение сомножителей, из которых первые равны , а остальные − , и произвести все сокращения. Под нулевой степенью элемента будем понимать нейтральный элемент. В силу обобщенной ассоциативности легко показать, что Z имеют место равенства:

(3)

Обозначим подмножество группы , состоящее из всех степеней элемента .

Утверждение 4. Множество является подгруппой группы .

Доказательство очевидно.

Определение 16. Подгруппа называется циклической подгруппой группы .

Легко видеть, что циклическая подгруппа всегда коммутативна, даже если сама группа некоммутативна. Если все степени элемента являются различными элементами, то называется элементом бесконечного порядка. Если существуют и из N, такие, что , то называется элементом конечного порядка. Легко видеть, что в этом случае . Наименьшее N такое, что называется порядком элемента .

Определение 17. Группа называется циклической группой, если она состоит из степеней одного из своих элементов , то есть совпадает с одной из своих циклических подгрупп . Элемент в этом случае называется образующим элементом группы .