Типовой пример

Важным направлением развития межрегиональных сопоставлений выступает построение интегральных показателей уровня жизни населения. Программой развития ООН разработан интегральный показатель – Индекс развития Человеческого Потенциала (ИРЧП). Данный показатель включает три компоненты уровня жизни: долголетие, образование, доход.

В таблице 1 представлены статистические данные (N=100), характеризующие компоненты ИРЧП по областям и краям Российской Федерации. X – материальный доход за месяц в условных единицах, Y – продолжительность жизни.

 

Таблица 1

Статистические данные типового примера

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N
X
Y

Сравнение индексов долголетия, образованности и уровня жизни на внутрироссийском уровне даёт возможность уточнить приоритетность соответствующих в стране программ человеческого развития, а также определить желательные масштабы их финансирования на национальном и региональном уровнях. Для этого требуется провести анализ данных Таблицы 1:

 

1. Построить эмпирическую функцию распределения, полигон и гистограмму для случайной величины Х;

2. Построить точечные и интервальные оценки для математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности Х;

3. Сделать статистическую проверку гипотезы о нормальном законе распределения случайной величины Х;

4. Составить корреляционную таблицу по сгруппированным данным;

5. Найти линейную корреляционную модель зависимости дохода (Х) от фактора долголетия (Y);

6. Оценить тесноту корреляционной связи;

7. Оценить степень близости модели к статистическим данным;

8. Вычислить прогнозные значения фактора Х и точность прогноза для значений фактора, равных и .

 

Решение.

Составим ранжированный ряд для случайной величины Х.

 

Таблица 2

Ранжированный ряд случайной величины Х

 

N

X

Y

 

Продолжение таблицы 2

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

 

N
X
Y

 

Для удобства расчётов составим новую Таблицу 3, в которой отразим частоты появления случайных величин и относительные частоты .

Таблица 3

Дискретный вариационный ряд

 

 

В данном примере случайная величина Х распределена с шагом h=5.

Рассчитаем эмпирическую функцию распределения в виде «нарастающей относительной частоты» (Таблица 4).

Таблица 4

Расчёт эмпирической функции распределения

 

220
225<	+
230<
235<

 

Построим эмпирическую функцию распределения рис.1

Рис.1

 

Экспериментальные данные, представленные в виде вариационного ряда можно представить графически в виде ломаной линии (полигона), связывающей на плоскости точки с координатами (), где - относительная частота (рис. 2). На этом же рисунке отобразим пунктирной линией выравнивающие (теоретические частоты) частоты.

 

Рис.2

 

Предположим, что случайная величина Х распределена нормально, тогда выравнивающие частоты могут быть найдены по формуле:

, (57)

 

где n – число испытаний,

h – длина частичного интервала,

- выборочное среднее квадратическое отклонение,

( - середина -го частичного интервала),

. (58)

 

Результаты вычислений отобразим в Таблице 5.

 

 

Таблица 5

Расчёт выравнивающих частот

 

	-11,7 -6,7 -1,7 3,3 8,3	-2,18 -1,25 -0,32 0,62 1,55	0,04 0,18 0,38 0,33 0,12	3,74 16,82 35,51 30,84 11,22		0,04 0,17 0,36 0,31 0,12

 

Сравнение графиков наглядно показывает близость выравнивающих частот к наблюдаемым и подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак распределён нормально.

 

2) Найдём числовые характеристики вариационного ряда, используя Таблицу 3.

Средняя арифметическая (9):

 

 

Средняя гармоническая (10):

 

 

Средняя квадратическая (11):

 

Средняя геометрическая (12):

Сделаем проверку по формуле (13):

 

 

Выборочная дисперсия (14):

 

 

Среднее квадратическое отклонение (15):

 

 

Выборочная мода:

Выборочная медиана:

 

Коэффициент вариации (16):

 

 

Размах варьирования (17):

 

R=240-220=20

 

Среднее абсолютное отклонение (18):

 

 

«Исправленные» дисперсия и среднеквадратическое отклонение (19):

 

, .

 

Доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью 0,95 найдём по формуле (21). Из соотношения находим значение функции Лапласа: . По таблице значений функции Лапласа (Приложение 4) находим z=1,96. Таким образом,

 

 

230,65<a<232,75

 

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения случайной величины находим по формуле (22). На основании данных значений и n=100 по таблице (Приложение 5) находим значение q=0,143. Таким образом,

 

 

4,71<

 

Моменты k-го порядка (23):

 

 

Асимметрия (24):

 

 

Оценка степени существенности (25):

 

 

отношение <3, значит асимметрия не существенна.

Эксцесс (26):

 

 

3)Проведём статистическую проверку гипотезы о нормальном распределении. Нормальный закон распределения имеет два параметра (r=2): математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

Для расчёта теоретических частот воспользуемся табличными значениями функции Лапласа Алгоритм вычисления состоит в следующем:

- по нормированным значениям случайной величины Z находим значения , а затем :

 

=0,5+ .

 

Например,

 

; ; ;

 

;

- находим ;

- находим и если некоторое то соответствующие группы объединяются с соседними.

Результаты вычисления и приведены в таблице №6.

По формуле

(59)

 

можно сделать проверку расчётов.

 

 

По таблице Приложения 6 находим по схеме: для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы =6,0. Следовательно, критическая область – (6; ). Величина =44,21 входит в критическую область, поэтому гипотеза о том, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения отвергается.

При =4,61. Критическая область – (4,61; ). Величина =44,21 также входит в критическую область и гипотеза о нормальном законе распределения величины Х отвергается.

При =9,2. Критическая область – (9,2; ).

Величина =44,21 также входит в критическую область и гипотеза о нормальном законе распределения величины Х отвергается.

 

Таблица 6

Определение

 

i
			-0,485	0,015	0,106	0,091	9,1	2,86
			-0,394	0,106	0,375	0,269	26,9	6,17
			-0,126	0,375	0,729	0,355	35,5	3,13
			0,229	0,729	0,938	0,209	20,9	1,15
			0,438	0,938	1,0	0,062	6,2	30,9

 

Данные Таблицы 2 сгруппируем в корреляционную Таблицу 7.

 

Таблица 7

Корреляционная таблица

 

Y\X
			-	-	-
	-			-	-
	-	-
	-	-
	-	-	-
						100

 

Находим средние значения по формулам (36), (37), (38), (39):

 

 

 

 

Найденные результаты подставляем в (34) и (35):

 

 

 

Используя формулы (40), (41), получим:

 

 

Вычисляем выборочный коэффициент корреляции (42):

 

 

так как 0,7< <0,9, то корреляционная связь между X и Y высокая.

Находим уравнение регрессии Y на Х (43):

 

 

Находим уравнение регрессии X на Y (44):

 

 

 

Вычислим корреляционное отношение (45). Для этого сначала по корреляционной модели находим значение для исходных значений фактора .

 

Далее

 

Учитывая найденные значения, получим:

 

 

0,76<0,763

Вычисляем среднюю относительную ошибку аппроксимации (46):

 

№
		|39-42,2|=3,2	0,082
		|49-49,45|=0,45	0,009
		|59-56,7|=2,3	0,04
		|69-63,95|=5,05	0,073
		|79-71,2|=7,8	0,099

 

 

 

Так как , то модель является достаточно адекватной реальной зависимости Y от X.

 

8) При уровне значимости по таблице критических значений статистики находим, что при k=n-2=100-2=98

Затем найдём среднее квадратическое отклонение результирующего признака от выровненных значений (48):

 

 

Теперь найдём прогнозное значение для Х=245 и Х=250

-прогнозные значения.

 

Оценим точность по формуле(56):

 

f(245)=78,45 ,

f(250)=85,7

 

Таким образом, Р(77,26<f(245)<79,64)=95%,

P(84,08<f(250)<87,32)=95%.

Правила выполнения работы

 

Выполнение контрольной работы является важным этапом подготовки к сдаче экзамена по дисциплине «Математика».

Студент должен выполнить контрольную работу по варианту, номер которого равен остатку от деления шифра (номера зачётной книжки) на 20. Так, например, если шифр 1417, то остаток от деления этого числа на 20 равен 17 и, значит, следует решать 17-й вариант; если шифр 806, то остаток равен 6, и следует решать 6-й вариант. Если остаток равен нулю, то нужно решать 20-й вариант.

Контрольная работа должна быть выполнена до наступления зачётно-экзаменационной сессии. Контрольная работа нужно сдать на кафедру высшей математики, расположенной по адресу: СПб, ул. Прилукская, д.3, ауд. 415, тел. 767-19-02.

На экзамене необходимо иметь зачтённую контрольную работу.

 

 

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант 1

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N
X
Y

Вариант 2

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N
X
Y

 

Вариант 3

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N
X
Y

 

Вариант 4

 

N

X

Y

 

N

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒ Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 443. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы! Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар... Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения... Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности... Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями... Уравнение волны. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение. Уравнение сферической волны Уравнением упругой волны называют функцию , которая определяет смещение любой частицы среды с координатами относительно своего положения равновесия в произвольный момент времени t... Медицинская документация родильного дома Учетные формы родильного дома № 111/у Индивидуальная карта беременной и родильницы № 113/у Обменная карта родильного дома... Основные разделы работы участкового врача-педиатра Ведущей фигурой в организации внебольничной помощи детям является участковый врач-педиатр детской городской поликлиники... Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P   1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P... Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений... Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...