ЗАДАНИЕ 1
ЗАДАНИЕ 1 Решить задачу линейного программирования графическим способом и с помощью инструмента «Поиск решения» табличного процессора MS Excel. Решение: Систему линейных уравнений вида:
принято называть системой n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с и неизвестными. При этом произвольные числа аij (i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, n) называются коэффициентами системы (коэффициентами при неизвестных), а числа bi (i=1, 2,..., n) - свободными членами. Такая форма записи алгебраической линейной системы называется нормальной. Решением называется совокупность чисел xi (i=1, 2, …, n), при подстановке которых в систему каждое из ее уравнений обращается в тождество. Для решения:
(3.2) представим эту систему в матричном виде: AX = B, где А – матрица коэффициентов системы уравнений, Х – вектор неизвестных и В – вектор правых частей.
В этом случае неизвестные x1,x2, x3 и x4 вычисляются по формуле: ,i=1, …, 4 Где ∆ - определитель матрицы A, ∆i - определитель матрицы, получаемой из матрицы А путем замены i-го столбца вектором b. Методом Крамера (методом вычисления определителей). Решение можно найти по формулам Крамера:
где det А = |А| - определитель матрицы системы (главный определитель), det Аi = |Ai| (i=1, 2,..., n) - определители матрице, (вспомогательные определители), которые получаются из А заменой i-го столбца на столбец свободных членов В. Линейная алгебраическая система несовместна (не имеет решений), если det А = 0.
Рисунок.1 – Формирование вспомогательных матриц
Для Реализации этого метода в MS Excel: 1. введём матрицу А и вектор b на рабочий лист. 2. Сформируем четыре вспомогательные матрицы, заменяя последовательно столбцы матрицы A на столбец вектора b (рисунок 1). 3. Чтобы вычислить определитель матрицы A. Установим курсор в ячейку H8 и обратимся к мастеру функций. В категории Математические выберем функцию МОПРЕД, предназначенную для вычисления определителя матрицы, и перейдём ко второму шагу мастера функций. Диалоговое окно, появляющееся на втором шаге содержит поле ввода Массив. В этом поле указывают диапазон матрицы, определитель которой вычисляют. В нашем случае это ячейки B2:E5. (рисунок 2)
Рисунок 2 – Мастер функций
4. Для вычисления вспомогательных определителей введем формулы: H9=МОПРЕД(B7:E10), H10=МОПРЕД(B12:E15), H11=МОПРЕД(B17:E20), H12=МОПРЕД(B22:E25). В результате в ячейке H8 хранится главный определитель, а в ячейках H9:H12 – вспомогательные. 5. Воспользуемся формулами Крамера и разделим последовательно вспомогательные определители на главный. В ячейку J9 введём формулу =H11/$H$8. Затем скопируем её содержимое в ячейки J10, J11 и J12. Сделаем проверку решения, для этого подставим в нашу систему полученные значения: 6. В ячейку L9 вводим формулу =B2*$J$9+C2*$J$10+D2*$J$11+E2*$J$12. Затем копируем её содержимое в ячейки L10, L11 и L12, получившиеся в результате вычислений ответы совпали с ответами в исходном примере - Система решена верно.
Рисунок 3 – Результаты вычислений
Матричный способ решения СЛАУ. Этот способ достаточно прост. Обе части матричного равенства АХ = В умножим слева на обратную матрицу А-1: A-1AX = A-1B. Так как A-1A = Е, где Е - единичная матрица (диагональная матрица, у которой по главной диагонали расположены единицы), то решение системы X = A-1В. То есть для решения системы необходимо найти для матрицы А обратную A-1 и умножить ее справа на вектор-столбец В свободных членов. Рассмотрим решение системы (2) матричным способом. 1. Введём матрицу А в ячейки B28: E3. 2. Ячейки диапазона G28: G31 заполняем значениями правых частей уравнений системы (b):
3. В ячейке B33 чтобы вычислить определитель матрицы А, вызываем Мастер функций и в категории Математические щелкнем на имени функции мопред, которая возвращает величину определителя матрицы. Откроется диалоговое окно Аргументы функции для функции мопред. В поле Массив указываем диапазон ячеек G28: G31. 4. Выделяем диапазон ячеек E33:E36, предназначенный для отображения найденного решения. 5. Поместим курсор в строку формул и вызовем Мастер функций. Выбираем функцию МУМНОЖ, которая возвращает результат умножения матриц и заполняем диалоговое окно Аргументы функции следующим образом:
6. Фрагмент электронной таблицы, реализующей решение, приведен на рисунке 4.
Рисунок 4 - Результаты вычислений Для проверки результатов выполните умножим матрицы коэффициентов при неизвестных системы А на столбец со значениями найденного решения X. В результате должен получиться столбец чисел, отличающихся от значений вектора b на величину погрешности расчета или совпадающих с этими значениями. 7. Выделяем диапазон ячеек G33:G36 и вводим в строку формул 8. = МУМНОЖ(B28:E31;E33:E36) и нажмите комбинацию клавиш Ctrl Shift Enter. 9. Введенная формула преобразуется к виду {=МУМНОЖ(B28:E31;E33:E36)}, а на рабочем листе появится результат проверки решения системы уравнений. Как видно на рисунке 4 система уравнений решена правильно.
ЗАДАНИЕ 2 Решить задачу нелинейного программирования графическим способом и с помощью инструмента «Поиск решения» табличного процессора MS Excel. Найти при условии
|