Разряд, основание системы счисления

 

 

Основание системы счисления – количество знаков или символов, используемых в данной системе счисления для изображения числа.

Позиционные системы счисления имеют ряд преимуществ перед непозиционными: удобство выполнения арифметических и логических операций, а также представление больших чисел, поэтому в цифровой технике применяются позиционные системы счисления.

Разряд – номер позиции в числе. Нумеруются справа налево, начиная с нуля.

Вес разряда – число, равное основанию системы счисления в степени номера разряда. В вычислительной технике используются позиционные системы счисления – двоичная (BIN) в качестве основной, десятичная (DEC) и шестнадцатеричная (HEX) в качестве вспомогательных, ранее использовалась восьмеричная (OCT).

Запись чисел может быть представлена в виде: ,

где – запись числа A в СС D;

– символ системы, образующие базу.

По этому принципу построены непозиционные СС.

В общем же случае системы счисления:

.

Если положить, что , а , то получим позиционную СС. При мы имеем дело с десятичной СС.

На практике также используют другие СС:

q	Название	Цифры
	двоичная	0,1
	троичная	0,1,2
	восьмеричная	0,...,7
	шестнадцатиричная	0,...,9,A,...,F

Каждая СС имеет свои правила арифметики (таблица умножения, сложения). Поэтому, производя какие-либо операции над числами, надо помнить о СС, в которой они представлены.

Если основание системы q превышает 10, то цифры, начиная с 10, при записи обозначают прописными буквами латинского: A,B,...,Z. При этом цифре 10 соответствует знак 'A', цифре 11 – знак 'B' и т.д. В таблице ниже приводятся десятичные числа от 0 до 15 и их эквивалент в различных СС:

q=10	q=2	q=16
		A
		B
		C
		D
		E
		F

В позиционной СС число можно представить через его цифры с помощью следующего многочлена относительно q:

(1)

Выражение (1) формулирует правило для вычисления числа по его цифрам в q-ичной СС. Для уменьшения количества вычислений пользуются т.н. схемой Горнера. Она получается поочередным выносом q за скобки:

,

результат вычисления многочлена будет всегда получен в той системе счисления, в которой будут представлены цифры и основание и по правилам которой будут выполнены операции.