Функция от случайной величины

Пусть на вероятностном пространстве (Ω, B, Р) задана случайная величина X = Х (ω). Рассмотрим действительную функцию у = Y (х) действительного аргумента х (область определения которой включает в себя множество возможных значений случайной величины X).

Определение. Случайную величину Y,которая каждому элементарному исходу ωставит в соответствие число

Y (ω) = Y (X (ω))

называют функцией Y (X)(скалярной)отскалярной случайной величины X.

Функция Y = Y (X)от дискретной случайной величины также является дискретной случайной величиной, поскольку она не может принимать больше значений, чем случайная величина X.

Функция Y = Y(X) от непрерывной случайной величины X может быть как непрерывной, так и дискретной (если, например, множество значений функции Y(X) конечное или счетное).

В силу определения F_Y (y)представляет собой вероятность события { Y < у }, состоящего из тех элементарных исходов ω, для которых Y (Х (ω)) < у. Для этих же элементарных исходов ωслучайная величина Х (ω)будет принимать свои возможные значения на некоторой совокупности {Δ _k }, k = 1,2,..., непересекающихся промежутков числовой прямой R. Иными словами, событие { Y (Х (ω)) < у }эквивалентно событию , и, следовательно, по расширенной аксиоме сложения вероятностей

Зная плотность распределения р_X (х)случайной величины X, имеем

а следовательно, учитывая свойство аддитивности определенного интеграла, получаем

где сумма может быть и бесконечной.

Поскольку совокупность промежутков {Δ _k } определена как множество тех значений случайной величины Х (ω),для которых Y (Х (ω)) < у, то для множества , по которому ведется интегрирование, принято обозначение: Y (x) < y. Окончательно получаем

Последняя запись означает, что интегрирование проводится по всем тем значениям х, для которых Y (x)< у. Множество таких значений может представлять собой совокупность промежутков, и тогда нужно использовать свойство аддитивности интеграла, а пределы интегрирования по отдельным промежуткам определяются их границами.

Найдем математическое ожидание функции от случайной величины. Рассмотрим сначала дискретную случайную величину Х принимающую значения x ₁, ..., x_n. Тогда случайная величина Y = Y (X) принимает значения Y (x 1),..., Y (x_n)с вероятностями p_i = P { X = x_i } и ее математическое ожидание определяется формулой

Если же величина X принимает счетное число значений, то математическое ожидание Y определяется формулой

но при этом для существования математического ожидания требуется абсолютная сходимость соответствующего ряда

Для непрерывкой случайное величины X, имеющей плотность распределения р (х), математическое ожидание случайной величины Y = Y (X)можно найти, используя формулу

причем и здесь требуется выполнение условия

Теорема. Математическое ожидание удовлетворяет следующим свойствам.

1. Если случайная величина X принимает всего одно значение С с вероятностью единица (т.е., по сути дела, не является случайной величиной), то МС = С.

2. М (аХ + b) = aMХ + b, где а, b − постоянные.

3. М (Х ₁ + Х ₂) = МХ ₁ + МХ ₂.

4. для независимых случайных величин Х ₁ и Х ₂.

Доказательство. 1) Если случайная величина X принимает всего одно значение С с вероятностью единица, то МС = С ∙ 1 = С. 2) Для непрерывной случайной величины 3) и 4) утверждения можно доказать с использованием многомерной случайной величины и ее свойств.

Теорема. Дисперсия удовлетворяет следующим свойствам.

1. Если случайная величина X принимает всего одно значение С с вероятностью единица, то DC = 0.

2. D (aX + b) = a ² DX.

3. DX = MX ² − (MX)².

4. D (X + Y) = DX + Dy для независимых случайных величин X и Y.

Доказательство. 1) Если случайная величина X с вероятностью единица принимает всего одно значение С, то в силу свойства 1 математического ожидания (MX = С)получаем DX = М (Х − С)2 = (С − С)2 ∙1 2) Определим дисперсию случайной величины Y = aX + b. Используя свойство 2 математического ожидания, имеем 3) Далее, согласно свойствам 2 и 3 математического ожидания, получаем 4) Пусть X и Y − независимые случайные величины. Тогда, используя независимость случайных величин и , а также свойства 2-4 математического ожидания, получаем