Тема: Баланс мощностей

 

Предлагаемый перечень вопросов и задач

для проведения аккредитации специальности 1-43 01 03 по дисциплине: «Теоретические основы электротехники»

 

Тема 1: Цепи постоянного тока.

 

1.

Для данной цепи определить показания

амперметра и вольтметра, если R₁=R₂=24 Ома, а

U₀=12 В.

 

Решение: Приборы для упрощения будем считать идеальными, тогда внутреннее сопротивление вольтметра равно бесконечности, а внутреннее сопротивление амперметра равно нулю.

В результате амперметр шунтирует резистор R₂ и ток от источника пойдет только через резистор R₁ и амперметр А.

Амперметр А покажет силу тока .

Вольтметр V покажет напряжение .

2.

 

Определить показания амперметра в

схеме приведенной на рисунке.

Решение: Треугольник сопротивлений R₄, R₅ и R₆ преобразуем в эквивалентную звезду:

Полное сопротивление цепи относительно зажимов источника ЭДС равно:

Ток, потребляемый от источника ЭДС:

Так как сопротивления крайних ветвей равны, то ток I делится пополам. Тогда амперметр А покажет силу тока .

 

3. У генератора постоянного тока при токе в нагрузке I₁=50А напряжение

на зажимах U₁=210 В, а притоке, равном I₂=100А, оно снижается до

U₂=190 В. Определить параметры последовательной схемы замещения

источника и ток короткого замыкания.

 

Решение: Условиям задачи соответствует схема вида:

Составим уравнение электрического состояния схемы по второму закону Киргофа, направление обхода выберем по часовой стрелке:

.

Напряжение на зажимах генератора равно .

Тогда уравнение примет вид: .

Для двух режимов работы цепи подставим значения токов и напряжений, и получим систему из двух уравнений:

Решая совместно полученную систему уравнений найдем неизвестные E и R_вн.

Вычтем из первого уравнения второе:

; , тогда .

ЭДС Е находим из любого уравнения:

.

4.

Для определения токов в данной электрической цепи составить систему уравнений по методу законов Киргофа.

 

Решение: При расчете цепи методом законов Киргофа по первому закону Киргофа составляется на одно уравнение меньше, чем число узлов схемы, и по второму закону Киргофа составляется столько уравнений, сколько независимых контуров имеет схема.

Данная схема содержит всего два узла, значит по первому закону Киргофа требуется составить всего одно уравнение. Направления токов в схеме выбраны.

Схема содержит два независимых контура, значит по второму закону Киргофа требуется составить два уравнения. Направление обхода левого контура выберем по часовой стрелке, а правого – против часовой стрелки.

Составляем систему уравнений:

 

5.

Для определения токов в данной электрической цепи составить систему уравнений по методу контурных токов.

 

Решение: При расчете цепи методом контурных токов предполагается, что по каждому независимому контуру замыкается свой контурный ток, независимо от соседних контуров. Согласно этому методу по второму закону Киргофа составляется столько уравнений, сколько независимых контуров имеет схема, причем уравнения составляются относительно контурных токов.

Данная схема содержит два независимых контура, поэтому по второму закону Киргофа требуется составить два уравнения относительно контурных токов. На схеме выберем направления контурных токов:

Первый и второй контурные токи обозначим соответственно I_I и I_II. Составляем систему уравнений:

Далее решают полученную систему уравнений, и находят сначала контурные токи, затем действительные.

6.

Определить ток I₃ в данной схеме методом двух узлов, если Е₁=10 В, Е₂=20 В, R₁= 10 Ом, R₂= 50 Ом, R₃= 25 Ом.

 

Решение: При расчете цепи методом двух узлов вычисляют напряжение между этими двумя узлами по формуле:

, где g_i – проводимость i-й ветви.

Если в i-й ветви ЭДС отсутствует, то в этой ветви E_i =0.

Вычислим напряжение между узлами а и б для данной схемы:

Тогда токи во всех ветвях схемы могут быть вычислены по формуле:

, отсюда

 

7.

Определить ток I₂ в данной схеме методом эквива-лентного генератора, если Е₁=13 В, Е₂=20 В,

R₁= 10 Ом, R₂= 30 Ом, R₃= 25 Ом.

 

Решение: Ветвь, в которой требуется определить ток рассматривается как нагрузка, в данном случае это R₂. Остальная часть схемы – это генератор. Отключаем нагрузку, оставляя только генератор.

Требуется найти U_XX, оно равно ЭДС эквивалентного генератора. Применим метод контурных токов.

Пусть ток I в левом контуре является контурным и направлен против часовой стрелки. Контурный ток в правом контуре равен нулю и направлен по часовой стрелке.

.

Подставим исходные данные и решим:

Отсюда: . .

Далее находим внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, для этого из схемы генератора исключаем все ЭДС, заменяем их перемычками, и находим общее сопротивление относительно зажимов эквивалентного генератора.

Тогда внутреннее сопротивление равно:

По закону Ома для полной цепи находим ток I₂:

.

 

Тема 2: Цепи переменного синусоидального тока.

8. Какое количество резисторов сопротивлением 470 Ом и мощностью

15 Вт потребуется, и как их следует соединить, чтобы лампу мощ-

ностью 50 Вт и номинальным напряжением 220 В включить в сеть

напряжением 380 В?

 

Решение: Для того, чтобы лампу с номинальным напряжением 220 В включить в сеть с напряжением 380 В следует последовательно с лампой включить ограничительное сопротивление.

Ток через лампу и ограничительное сопротивление можно определить как:

.

Тогда величина ограничительного резистора равна:

.

Поскольку в наличии имеются только резисторы 470 Ом, то для набора ограничительного резистора R потребуется: R/470=704,8/470=1,5 резистора номиналом 470 Ом. Тогда для набора ограничительного резистора R нужно соединить один резистор 470 Ом последовательно с двумя параллельно соединенными резисторами 470 Ом.

Проверим последовательно включенный резистор по мощности.

.

Таким образом, одиночный резистор номиналом 470 Ом и мощностью 15 Вт не выдержит номинальный ток лампы, а потому ограничительный резистор R нужно набирать из 6 резисторов номиналом 470 Ом и мощностью 15 Вт, соединенных по схеме:

 

9. Определить емкость конденсатора, который включен последовательно

с лампой накаливания мощностью 100 Вт и напряжением 127 В, чтобы это соединение можно было включить в сеть с напряжением 220 В, 50 Гц и при этом яркость свечения лампы не должна измениться.

 

Решение: Согласно условиям задачи схема подключения лампы накаливания имеет вид:

 

Определяем номинальный ток лампы накаливания:

.

Для определения падения напряжения на конденсаторе С строим векторную диаграмму:

Напряжение на конденсаторе равно:

Реактивное сопротивление конденсатора равно:

.

Тогда необходимая величина емкости будет равна:

10. При включении реальной катушки индуктивности, конденсатора и их

параллельного соединения к источнику переменного напряжения

амперметр источника питания во всех трех случаях показал одинаковое

значение. При каком соотношении активного и реактивного

сопротивления катушки индуктивности это возможно?

 

Решение: Согласно условиям задачи были выполнены следующие три измерения:

Во всех трех случаях показания амперметров равны, и во всех случаях использовался один и тот же источник напряжения.

Построим векторную диаграмму:

Равенство токов во всех трех случаях возможно, если вектора токов могут образовать равносторонний треугольник, тогда треугольник напряжений на реальной катушке индуктивности из векторов U, U_Rk и U_Lk является прямоугольным с углом 30°. Тогда:

.

Таким образом искомое соотношение равно:

.

 

11. Понятие резонанса напряжений: в какой цепи он может возникнуть,

условие резонанса, свойства резонанса напряжений, векторная

диаграмма?

 

Ответ: Резонанс напряжений возникает в цепи с последовательным соединением активного сопротивления R, индуктивности L и конденсатора C. Активное сопротивление R может отсутствовать.

 

Резонансом напряжения называется такой режим работы последовательной цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление вещественно.

Условием резонанса является равенство реактивных сопротивлений индуктивности L и конденсатора C: .

Основными свойствами резонанса напряжений являются:

· Сопротивление цепи минимально и равно активному сопротивлению ;

· Напряжение на индуктивности L равно напряжению на конденсаторе, то есть ;

· Угол сдвига по фазе между напряжением, приложенном к цепи и током φ=0;

· Полная мощность цепи равна активной ;

· Резонансная частота равна ;

· Величины напряжений U_L и U_C могут многократно превышать величину напряжения, приложенного к цепи.

Векторная диаграмма такой цепи в режиме резонанса напряжений имеет вид:

 

12. Понятие резонанса токов: в какой цепи он может возникнуть,

условие резонанса, свойства резонанса токов, векторная диаграмма?

 

Ответ: Резонанс токов возникает в цепи с параллельным соединением активного сопротивления R, индуктивности L и конденсатора C. Активное сопротивление R может отсутствовать.

 

Резонансом токов называется такой режим работы параллельной цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входная проводимость вещественна.

Условием резонанса токов является равенство реактивных проводимостей индуктивности L и конденсатора C: .

Основными свойствами резонанса токов являются:

· Проводимость цепи минимальна и равна активной проводимости ;

· Ток через индуктивность L равен току через конденсатор, то есть ;

· Угол сдвига по фазе между напряжением, приложенном к цепи и током I в неразветвленной части цепи φ=0;

· Полная мощность цепи равна активной ;

· Резонансная частота равна ;

· Величины токов I_L и I_C могут многократно превышать величину тока в неразветвленной части цепи.

Векторная диаграмма такой цепи в режиме резонанса токов имеет вид:

13.

 

Определить показание третьего амперметра, если известны показания двух остальных? I₁ = 5A, I₂ = 4A.

 

Решение: Построим векторную диаграмму токов и напряжений для данной схемы:

Исходя из векторной диаграммы третий амперметр А3 покажет значение тока:

.

 

14.

 

Определить показания всех амперметров, если действующее значение приложенного к цепи напряжения U =12 В, а реактивные сопротивления ветвей X_L=X_C=6 Ом.

 

Решение: В исходной схеме параллельно включены индуктивность L и емкость С, причем известно, что X_L=X_C=6 Ом. Равенство реактивных сопротивлений X_L=X_C является условием возникновения резонанса токов в такой цепи, а значит I_L=I_C=12/6=2A. Векторная диаграмма токов и напряжений имеет вид:

Так, как токи I_L и I_C равны по величине и противоположны по фазе, то амперметр А1 покажет значение I₁=0, амперметры А2 и А3 покажут одинаковое значение I₂ = I₃ =2А.

 

Тема 3: Трехфазные цепи.

 

15. Для маркировки выводов четырехпроводной трехфазной сети между

четырьмя клеммами включили три вольтметра, которые показали

одинаковый результат U₁₂= U₂₄= U₄₁=220 В. Определить величину

фазного и линейного напряжения. Объяснить какая из четырех клемм

является нейтралью.

 

Решение: Согласно условиям задачи схема включения вольтметров имеет вид:

Так как все три напряжения измерены относительно разных клемм и имеют одинаковую величину, то в четырехпроводной трехфазной сети это могут быть только линейные напряжения.

Фазные напряжения в четырехпроводной трехфазной сети измеряются относительно нейтрали, то есть относительно одного провода, поэтому клемма 3 и является нейтралью.

Таким образом величина линейного напряжения в данной четырехпроводной трехфазной сети равна

U_л=220 В, а величина фазного напряжения равна .

16.

 

Определить показания ваттметра при симметричной активной нагрузке, если показания двух других приборов равны 10А и 220В?

 

Решение: В данной схеме ваттметр включен на линейное напряжение U_Л = U_AB, и через токовую обмотку ваттметра проходит линейный ток равный фазному , так как нагрузка симметричная.

Тогда показания ваттметра будут равны:

, где φ – угол сдвига по фазе между векторами линейного напряжения U_Л и линейного тока I_Л.

Как видно из векторной диаграммы угол сдвига по фазе φ между линейным напряжением U_AB и линейным током I_A составляет φ=30°.

Вольтметр V измеряет фазное напряжение , тогда:

. Линейный ток: I_л= 10 А.

Находим показание ваттметра:

.

17.

 

 

Определить показания ваттметра при симметричной активной нагрузке, если показания двух других приборов равны 10А и 220В?

 

 

Решение: В данной схеме ваттметр включен так, что он измеряет мощность только в одной фазе, а именно в фазе А. Так как нагрузка симметричная, и чисто активная (Cos φ = 1) то мощности всех фаз равны между собой, и вычисляются в виде: , где U_Ф и I_Ф - соответственно фазные напряжение и ток.

Вольтметр V измеряет линейное напряжение , тогда:

. Фазный ток: I_Ф= 10 А.

Находим показание ваттметра: .

18.

Определить показания 4-го амперметра при симметричной нагрузке (I_A=I_B=I_C=1A) и показания всех четырех амперметров, если сгорел предохранитель фазы В.

 

 

Решение: Амперметр А4 измеряет ток в нулевом проводе, который согласно первому закону Киргофа равен сумме вектров фазных токов:

При симметричной нагрузке все фазные токи равны и векторная диаграмма токов для данной схемы имеет вид:

 

Поскольку все токи равны, то сумма векторов фазных токов образует равносторонний треугольник и тогда ток в нейтральном проводе (амперметр А4) I_N=0.

 

Если сгорел предохранитель фазы В, то ток фазы В (амперметр А2) I_В=0, ток фазы А (амперметр А1) I_А=1А, ток фазы С (амперметр А3) I_С=1А и ток нейтрального провода (амперметр А4) I_N=1А, так как в этом случае

, и тогда векторная диаграмма принимает вид:

Ответ: 1). Амперметр А₄ покажет I_N=0 А.

2). При обрыве фазы В: I_B=0 А (А2);

I_A=1 А (А1); I_C=1A (А3); I_N=1 А (А4).

 

19.

Чему равно показание амперметра, если мощность трехфазной симметричной нагрузки Р_Н=3 кВт, коэффициент мощности cos(φ)=0,8,

а показание вольтметра – 380В?

 

Решение:Так как нагрузка симметричная, то мощность одной фазы Р_Ф=1 кВт. Активная мощность одной фазы определяется выражением: Р_Ф=I_Ф·U_ф·Cos(φ). Сos(φ)=0,8; U_ф=380 В. Тогда: 1000Вт= I_Ф·380·0,8.

Отсюда находим ток: .

20. К трехпроводной трехфазной сети подключена активная трехфазная на

грузка, соединенная звездой. Как изменятся линейные токи и мощ-

ность, потребляемая той же нагрузкой, при ее переподключении тре

угольником к той же сети.

 

Решение: При указанном переподключении той же нагрузки в треугольник напряжения в фазах нагрузки станут равны линейным напряжениям, то есть увеличатся в раз, во столько же раз увеличатся токи в фазах нвгрузки. Линейные токи при соединении треугольником в раз раз больше фазных. Следовательно при указанном переподключении линейные токи увеличатся в 3 раза.

Потребляемая той же нагрузкой мощность при указанном переподключении так же увеличится в 3 раза, так как в каждой фазе после переключения будет потребляться мощность , в то время как до переключения в каждой фазе потреблялась мощность .

Таким образом, и линейные токи и потребляемая нагрузкой мощность в указанном случае увеличатся в 3 раза.

 

21.

Дана несимметричная система напряжений с заданными на рисунке углами фазовых сдвигов и величинами векторов напряжений. Определить графически симметричную составляющую напряжения прямой последовательности.

 

 

Решение: Симметричная составляющая напряжения прямой последовательности вычисляется согласно выражению:

, где .

Умножение вектора напряжения на а соответствует повороту вектора напряжения на угол 120° против часовой стрелки, а умножение вектора напряжения на а² соответствует повороту вектора напряжения на угол 240°.

Графические построения следует выполнять в соответствии с приведенным выражением.

22.

Дана несимметричная система напряжений с заданными на рисунке углами фазовых сдвигов и величинами векторов напряжений. Определить графически симметричную составляющую напряжения обратной последовательности.

 

Решение: Симметричная составляющая напряжения обратной последовательности вычисляется согласно выражению:

, где .

Умножение вектора напряжения на а соответствует повороту вектора напряжения на угол 120° против часовой стрелки, а умножение вектора напряжения на а² соответствует повороту вектора напряжения на угол 240°.

Графические построения следует выполнять в соответствии с приведенным выражением.

 

23.

Дана несимметричная система напряжений с заданными на рисунке углами фазовых сдвигов и величинами векторов напряжений. Определить графически симметричную составляющую напряжения нулевой последовательности.

 

Решение: Симметричная составляющая напряжения нулевой последовательности вычисляется согласно выражению:

.

Графические построения следует выполнять в соответствии с приведенным выражением.

24.

Несимметричный трехфазный приемник, соединенный треугольником, имеет

. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

 

 

Решение:Поскольку модули сопротивлений активных и реактивных элементов равны, то модули токов в фазах тоже будут равны.

Линейные токи определяются из выражений:

Вектора линейных напряжений образуют равносторонний треугольник напряжений, относительно которых строятся вектора фазных токов, а линейные токи строятся согласно приведенным выражениям.

 

Тема 4: Цепи переменного несинусоидального тока.

 

25. Напряжение на входе цепи, содержащей последовательно включенные R и C задано уравнением u=[141 Sin(ωt) + 31 Sin(3ωt)] В.

Определить действующие значения тока и активную мощность, если R=10 Ом, С=96,5 мкф, ω=314 рад/с.

 

Решение: Действующее значение тока в цепи определяется в виде:

, где I_i – действующее значение тока i-й гармоники.

, где U_i – действующее значение напряжения i-й гармоники;

Z_i – модуль сопротивления цепи на частоте i-й гармоники.

 

Модули сопротивлений цепи для гармоник 1 и 3 равны:

;

;

Действующие значения тока 1 и 3 гармоник равны:

;

Тогда суммарное действующее значение тока в цепи равно:

.

Активная мощность цепи равна:

.

 

 

26. Определить действующее значение напря-жения на зажимахцепи с последовательным

соединением резистора R=10 Ом и катушки индуктивности с ωL=10 Ом, если:

Вычислить активную мощность в цепи.

 

Решение: Действующее значение напряжения на зажимах цепи определяется в виде:

, где U_i – действующее значение напряжения i -й гармоники, входящей в состав напряжения, приложенного к цепи.

, где I_i – действующее значение тока i-й гармоники;

Z_i – модуль сопротивления цепи на частоте i-й гармоники.

Модули сопротивлений цепи для гармоник 1, 3, 5 равны:

;

;

Действующие значения напряжения 1, 3, 5 гармоник равны:

;

;

.

Тогда суммарное действующее значение напряжения на зажимах цепи равно:

.

Активная мощность цепи равна:

.

 

Тема 5: Цепи с распределенными параметрами.

 

27. Изобразить схему замещения элемента длинной линии. Каковы соотношения между первичными и вторичными параметрами элемента длинной линии?

Ответ:Схема замещения длинной линии

имеет вид:

 

Первичными параметрами длинной линии называют сопротивление R₀, индуктивность L₀, проводимость g₀ и емкость C₀ отнесенные к единице длины линии.

Вторичными параметрами длинной линии являются волновое сопротивление Z _C и постоянная распространения .

Вторичные параметры могут быть выражены через первичные.

Волновое сопротивление:

,

где: ; . Тогда: .

Постоянная распространения:

.

28. Определить вторичные параметры длинной линии, если ее первичные параметры равны:

R₀=0,2 Ом/км; ωL₀=0,2 Ом/км; g₀=0; ωC₀=2·10^-6 См/км.

 

Решение:Вторичными параметрами длинной линии являются волновое сопротивление Z _C и постоянная распространения γ.

Волновое сопротивление равно: ,

где Z ₀ = R₀ + j·ω·L₀ = 0,2 + j·0,2; Y ₀ = g₀ + j·ω·C₀ = j·2·10^-6. Тогда:

Постоянная распространения равна:

Угол 135° получается потому, что:

 

29. Коэффициент распространения длинной линии γ;= 0,125·е^j60° при час-

тоте 50 Гц. Определить длину волны и ее фазовую скорость.

 

Решение:Используя формулу Эйлера преобразуем постоянную распространения в алгебраическую форму записи комплексного числа:

γ = 0,125 ·е^j60°=0,125·Cos(60°)+j·0,125·Sin(60°)=0,125·0,5+ j·0,125·0,865=

=0,0625+ j·0,1081= α + j·β, где α – коэффициент затухания, β – коэффициент фазы. Тогда β=0,1081.

Длина волны определяется выражением:

Фазовая скорость равна:

 

Тема 6: Четырехполюсники.

 

30. Понятие четырехполюсника. Уравнения четырехполюсника в системе

А-параметров. Способы определения параметров четырехполюсника.

Схемы замещения четырехполюсников.

 

Ответ: Четырехполюсник – это часть схемы произвольной конфигурации, имеющая две пары зажимов, обычно называемые входными и выходными.

Теория четырехполюсников используется в задачах исследования взаимосвязи между переменными (обычно токами и напряжениями) двух различных ветвей схемы.

Условное графическое изображение четырехполюсника:

 

Общая форма записи уравнений четырехполюсника:

,

где А, В, С и D – коэффициенты четырехполюсника.

Уравнения четырехполюсника в системе А – параметров имеют вид:

.

Коэффициенты четырехполюсника могут быть определены экспериментальным или расчетным путем.

Один из удобных экспериментальных методов определения коэффициентов четырехполюсника основан на опытах холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ):

1. Опыт ХХ при питании со стороны первичных зажимов.

Тогда уравнения четырехполюсника примут вид:

; . Поделив первое на второе получим сопротивление Z_1XX:

; (1)

2. Опыт ХХ при питании со стороны вторичных зажимов.

Тогда уравнение принимает вид: .

Отсюда: . (2)

3. Опыт КЗ при питании со стороны вторичных зажимов.

Тогда уравнение принимает вид: .

Отсюда: . (3)

Решая совместно выражения (1), (2) и (3) находят коэффициенты четырехполюсника А, В, С и D.

Т – образная и П – образная схемы замещения четырехполюсника имеют вид:

Тема 7: Переходные процессы в линейных цепях.

 

31.

Известны параметры цепи: R=10 Ом;

С=100 мкф, U₀=20 В. Составить дифферен-циальное уравнение состояния цепи на момент замыкании ключа S₁, определить значение постоянной времени τ; переходного процесса,

построить примерные графики изменения пере-

ходного тока i(t) и напряжения u_C(t).

 

Решение:На момент замыкания ключа S₁ по второму закону Киргофа составим уравнение электрического состояния цепи:

.

Выразим ток i(t) через напряжение на конденсаторе U_C:

.

Подставляя этот ток в первое уравнение, получим дифференциальное уравнение состояния цепи на момент замыкания ключа S₁:

, или с числовыми значениями: , то есть .

Постоянная времени τ; переходного процесса равна:

, где α – корень характеристического уравнения.

Для полученного дифференциального уравнения характеристическое уравнение равно:

, отсюда , тогда .

Примерные графики изменения переходного тока i(t) и напряжения u_C(t) имеют вид.

 

32. Известны параметры цепи: R=10 Ом;

С=100 мкф, U₀=20 В. Составить дифферен-циальное уравнение состояния цепи на момент переключения ключа S₁, записать характеристи-

ческое уравнение, найти его корни, построить при

мерные графики изменения переходного тока i(t) и

напряжения u_C(t).

 

Решение:На момент переключения ключа S₁ по второму закону Киргофа составим уравнение электрического состояния цепи:

.

Выразим ток i(t) через напряжение на конденсаторе U_C:

.

Подставляя этот ток в первое уравнение, получим дифференциальное уравнение состояния цепи на момент замыкания ключа S₁:

, или с числовыми значениями: , то есть .

Для полученного дифференциального уравнения характеристическое уравнение равно:

, отсюда

Примерные графики изменения переходного тока i(t) и напряжения u_C(t) имеют вид.

 

 

33.