Виды и методы измерения. Математическая обработка результатов измерений. Законы распределения случайных величин. – Ракаев

 

По способу нахождения искомого значения измеряемой величины измерения подразделяют на 6 видов:

1) Прямые – которые искомую величину находят непосредственно (время - секундомером, силу тока - амперметром).

2) Косвенные – при которых искомую величину определяют вычислениями по результатам прямых измерений величин, связанных с искомой величиной известной функциональной зависимостью, т.е. расчет по формуле.

3) Совокупные – искомые значения величин находят с помощью решения системы уравнений, получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.

4) Совместные – производящие одновременно измерения двух или нескольких не одноименных величин для нахождения зависимости между ними.

5) Абсолютные – прямые измерения основных величин с использованием физических констант.

6) Относительные – по отношению к определенной величине, принимаемой за исходную.

По характеру взаимодействия средств измерения с повторностью измеряемых деталей методы и средства разделяют на:

1) Контактные – измерения, при которых измеряющие средства имеют механический контакт с поверхностью измеряемого объекта.

2) Бесконтактные – не имеют механического контакта – оптические средства.

Методы измерений:

1) Дифференциальным измерением называется измерение, когда у детали сложной формы измеряется в отдельности каждый из ее элементов или параметров, которые характеризуют точность. Например: для измерения резьбы измеряют отдельно наружный диаметр, внутренний и средний диаметры, шаг, угол профиля. Такой метод удобен при изготовлении деталей.

2) Комплексное – при котором определяется влияние комплекса элементов, из которых состоит деталь, т.е. выявляется влияние всех элементов вместе. Например, для проверки резьбы болта взять гайку (калибр) и свинтить болтом. Комплексное измерение удобно для приемки изготовленных деталей.

В зависимости от способа применения меры различают:

1) Метод непосредственной оценки – заключается в определении значения измеряемой величины непосредственно по отсчетному устройству измерительного прибора (пружинный манометр, амперметр). При этом сама мера отсутствует.

2) Метод сравнения – основан на сравнении измеряемого значения величины со значением величины, воспроизводимой мерой (присутствие самой меры).

а) Нулевой метод – сравнение с мерой, при котором результирующий эффект воздействия величин на прибор сравнения доводится до нуля (измерение массы на равноплечих весах, когда воздействие на весы массы m_x полностью уравновешивается массой гирь m_0, рис. 2, а).

Рис. 2 Методы сравнения

а б в

б) Дифференциальный метод – заключается в сравнении с мерой, при которой на измерительный прибор дается разность между измеряемой величиной и известной величиной (измерение массы на равноплечих весах, когда воздействие массы m_x на весы частично уравновешиваются массой гирь m₀,а разность масс отсчитывается по шкале весов, градуированной в единицах массы рис.2, б, в этом случае значение измеряемой величины m_x=m₀+Δm, где Δm- показания весов).

в) Метод замещения - основывается на сравнении с мерой, когда измеряемую величину замещают известной величиной, воспроизводимой мерой.(взвешивание на пружинных весах. Измерение производят в два приёма. Вначале на чашу весов помещают взвешиваемую массу и отмечают положение указателя весов; затем массу m_x замещают массой гирь m_0, подбирая её так, чтобы указатель весов установился точно в том положении, что и в первом случае. При этом ясно, что m_x=m₀

г) Метод совпадений – сравнение с мерой, причем разность между измеряемой величиной и величиной воспроизводимой мерой, измеряют, используя совпадение отметок шкалы или периодических сигналов (штангенциркуль с нониусом, измерение числа оборотов вала стробоскопом- вал периодически освещается вспышками света, и частоту вспышек подбирают так, чтобы метка, нанесённая на вал казалась наблюдателю неподвижной).

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Процедура обработки результатов измерений зависит от вида выполненных измерений, которые, прежде всего, могут быть:

- прямыми или косвенными;

- многократными или однократными.

Многократные измерения, в свою очередь, разделяются на:

- равноточные или неравноточные;

- один ряд (серия) или несколько рядов (серий) измерений;

- подчиняющиеся или неподчиняющиеся нормальному закону распределения вероятностей.

Различные виды измерений и их различные сочетания соответственно приводят к различным способам обработки результатов измерений.

Прямые многократные измерения делятся на равно- и неравно­точные.

Особое место в метрологии занимает математическая обработка результатов измерений. Для обработки результатов косвенных измерений, для построения моделей объектов измерений и процессов измерительного преобразования, для оценки систематических погрешностей используют различные разделы математического анализа, аналитической геометрии и других областей «детерминированной» математики. Наряду с этим широко используется аппарат теории вероятностей и математической статистики для оценки случайных составляющих погрешности измерений.

Случайная величина наилучшим и исчерпывающим образом характеризуется в теории вероятностей законом ее распределения. Этот закон устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими этим значениям вероятностям их появления. Существует две формы описания закона распределения случайной величины - дифференциальная и интегральная. Причем, в метрологии в основном используется дифференциальная форма - закон распределения плотности вероятностей случайной величины.

Дифференциальный закон распределения характеризуется плотностью распределения вероятностей f(x) случайной величины х. Вероятность Р попадания случайной величины в интервал от х₁ до х₂ при этом дается формулой:

Графически эта вероятность представляет собой отношение площади под кривой f(x) в интервале от х₁ до х₂ к общей площади, ограниченной всей кривой распределения. Как правило, площадь под всей кривой распределения вероятностей нормируют на единицу.

В данном случае представлено распределение непрерывной случайной величины. Кроме них существуют и дискретные случайные величины, принимающие ряд определенных значений, которые можно пронумеровать.

Интегральный закон распределения случайной величины представляет собой функцию F(x), определяемую формулой

Вероятность, что случайная величина будет меньше х₁ дается значением функции F(х) при х = х₁:

Хотя закон распределения случайных величин является их полной вероятностной характеристикой, нахождение этого закона является довольно трудной задачей и требует проведения многочисленных измерений. Поэтому на практике для описания свойств случайной величины используют различные числовые характеристики распределений. К ним относятся моменты случайных величин: начальные и центральные, которые представляют собой некоторые средние значения. При этом если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, то моменты называются начальными, а если от центра распределения – то центральными.

Начальный момент k-го порядка определяется формулой:

Наибольший практический интерес представляет начальный момент первого порядка - математическое ожидание случайной величины m₁ (k=1):

Математическое ожидание определяет положение центра группирования случайной величины, вокруг которого наблюдается ее рассеяние. Экспериментальной оценкой математического ожидания при многократных измерениях является среднее арифметическое значение измеряемой величины.

Центральный момент k-го порядка определяется формулой:

Особую роль играет центральный момент второго порядка. Он называется дисперсией D случайной величины и характеризует рассеяние отдельных ее значений:

На практике чаще используется среднее квадратическое отклонение σ (СКО) случайной величины, определяемое формулой:

При более подробном изучении распределений случайной величины используются моменты более высоких порядков. Так, любой нечетный центральный момент характеризует асимметрию распределения. Например, третий момент используют для нахождения коэффициента асимметрии кривой распределения относительно математического ожидания. Четвертый центральный момент характеризует остроту вершины кривой распределения.