Метод численного интегрирования

В этом простейшем методе производная аппроксимируется некоторыми конечными разностями. В результате дифференциальное уравнение, описывающее аналоговый фильтр, заменяется на разностное, описывающее цифровой фильтр. Эта операция приводит к замене комплексной переменной s в передаточной функции аналогового фильтра на комплексную переменную z в передаточной функции цифрового фильтра.

s=f(z) (3.4)

 

Очевидно, различные методы численного интегрирования дают различные функции перехода и, следовательно, различные результирующие цифровые фильтры. Наиболее простой является аппроксимация Эйлера. В этом случае производная по времени непрерывной функции dy/dt аппроксимируется конечной разностью вида:

(3.5)

 

 

где: Т= t – интервал дискретизации

 

y(n)=y(t)|_t=nT (3.6)

 

для всех целых значений n.

В операторной форме уравнения (3.5) и (3.6) дают

 

s= ≡ƒ(z) (3.7)

Отсюда

z = (3.8)

Метод инвариантного преобразования (инвариантности) импульсивной характеристики

 

Метод синтеза цифровых фильтров, основанный на использовании импульсной характеристики аналогового фильтра-прототипа, называют методом инвариантного преобразования (инвариантности) импульсной характеристики. Для более наглядного представления эта процедура приведена на рис.3.5. Эта процедура устанавливает, что импульсная характеристика h(n) результирующего цифрового фильтра представляет собой дискретизированную импульсную характеристику h(t) соответствующего аналогового фильтра и определяется следующим образом:

, (3.13)

где Т – интервал дискретизации.

 

 

 

 

 

Процедура расчета по методу инвариантного преобразования импульсной характеристики.

 

Применяя затем к импульсной характеристике цифрового фильтра z-преобразование, можно найти передаточную функцию и составить алгоритм цифровой фильтрации.

Определим необходимую для данного метода замену комплексной переменной s на z в передаточной функции аналогового фильтра (процедуру перехода).Для этого разложим передаточную функцию Н(s) исходного аналогового фильтра на простые дроби:

 

, (3.14)

 

где: N > M 0, b_N 0, b₀ 0, а все полюсы различны.

 

Кроме того, для всех ί; = 1,2…, N, представляет собой ί; - ый полюс аналогового фильтра, а _i - вычет функции Н(s) в полюсе . Импульсную характеристику h(t) аналогового фильтра можно получить, если найти обратное преобразование Лапласа выражения (3.14). В результате получим:

 

, (3.15)

 

Подставив (3.15) в (3.13), получим импульсивную характеристику h(n) соответствующего цифрового фильтра:

 

· , (3.16)

 

Передаточная функция Н(z) результирующего цифрового фильтра определяется путем нахождения z-преобразования импульсной характеристики, заданной выражением (3.16), следующим образом:

 

· .

 

Изменив порядок суммирования и просуммировав по n, получим:

. (3.17)

 

 

Сравнивая выражения (3.14) и (3.17), можно получить соотношение перехода от аналоговых фильтров к цифровым для метода инвариантного преобразования импульсной характеристики:

, (3.18)

 

где – полюс цифрового фильтра, соответствующий полюсу аналогового фильтра.

 

БИХ - фильтры высоких порядков обычно реализуются на основе последовательного или параллельного соединения биквадратных блоков. Следовательно, особый интерес представляет случай N=2. В этом случае преобразование (3.17) имеет вид

 

 

Если полюсы и - комплексно-сопряженные, то и также будут комплексно-сопряженными и последнее выражение сводится к следующему:

 

 

где и - действительная и мнимая части ;

и - действительная и мнимая части ;

* - обозначает “комплексно-сопряженное”

 

Из передаточной функции можно легко получить частотную характеристику Н(e^jθ) цифрового фильтра, а из нее – амплитудно-частотную | Н(e^jθ) | и, если необходимо, фазовую характеристики. Напомним, что Н|(e^jθ) | – периодическая функция переменной θ с периодом 2π;, а амплитудно-частотная характеристика аналогового фильтра |K(jω) | – непериодическая. Основное различие в свойствах аналоговых и цифровых фильтров состоит в том, что амплитудно-частотные характеристики результирующего цифрового фильтра будут отклоняться от характеристик исходного аналогового фильтра в точках θ=π; или ω= , где Т – интервал дискретизации. Если интервал дискретизации достаточно мал, то отклонение начнется в точке, близкой к θ=π;. В противном случае отклонение начнется значительно раньше. Частоты среза цифровых фильтров располагаются в точках:

 

θ_с= ω_с Т,

 

где ω_с – частота среза аналогового фильтра.

Эти частоты среза повторяются в соответствии с соотношением:

 

θ_с k2π;,

где k – любое целое число.

Так как импульсная характеристика h(n) цифрового фильтра, полученного на основе метода инвариантности импульсной характеристики, фактически является дискретизированным аналогом импульсной характеристики аналогового фильтра h(t), то частотная характеристика цифрового фильтра повторяется с периодом, равным частоте дискретизации (рис. 3.5`):

 

 

|H(f)|

 

частота

 

|H(f)|

 

 

f_g 2f_g частота

 

 

 

или с учетом того, что θ = ωT (цифровая частота)

 

 

(3.19)

 

При этом возникает эффект наложения, приводящий к отклонению амплитудно-частотной характеристики цифрового фильтра от характеристики исходного аналогового, о чем уже упоминалось выше. Если частота дискретизации достаточно велика, то эффект наложения будет незначительным.

Подставляя s =jω; в уравнение (3.19), получим

 

или

 

. (3.20)

 

Данные уравнения устанавливают соотношение между передаточными функциями цифрового и соответствующего аналогового фильтра для случая инвариантности их импульсных характеристик.

Исследование метода инвариантности на соответствие двум необходимым условиям процедуры перехода (3.2) и (3.3) показывает, что горизонтальная полоса шириной в s-плоскости отображаются соответственно на всю z-плоскость, т.е. левая и правая половины этой полосы отображаются соответственно в части z-плоскости внутри и вне единичной окружности, а мнимая ось – в единичную окружность. Поэтому все сложные полосы из s-плоскости шириной будут при отображении накладываться друг на друга в z-плоскости (рис.3.6).

 

 

 

Re[S] Re[Z]

 

 

Рис. 3.6 Свойства процедуры перехода на основе инвариантности импульсной характеристики

 

Отсюда следует, что для того, чтобы частотные характеристики исходного аналогового фильтра и рассчитываемого методом инвариантного преобразования импульсной характеристики цифрового фильтра соответствовали друг другу, необходимо, чтобы полоса пропускания аналогового фильтра находилась в пределах диапазона . Другими словами, из-за эффекта наложения метод инвариантности импульсной характеристики применим только для аналоговых фильтров с существенно ограниченной частотной характеристикой, которая удовлетворяет условию:

 

|H(jω) | 0 для | ω|>ω_в,

 

т.е. в случае нижних частот и полосовых, с достаточно резким срезом АЧХ.