Метод согласованного Z-преобразования

Данный метод основан на непосредственном отображении полюсов и нулей из s-плоскости в полюсы и нули на z-плоскости. При этом полюс (или нуль) находящийся в точке s =-a плоскости s отображается в полюс (или нуль) в точке z = e ^aT плоскости z.Таким образом, при согласованном z-преобразовании отображающая замена будет иметь вид:

где Т-период дискретизации

Передаточная функция аналоговых фильтров высокого порядка имеют несколько полюсов и/или нулей, которые нужно отобразить из s на z плоскость в этом случае передаточную функцию можно записать в следующем виде:

 

 

где z_k и p_k – нули и полюсы H(s).

Затем к каждому сомножителю применяется согласованное z-преобразование:

 

 

Для случая M=N=2 аналоговая и передаточная функция сводится к виду:

 

 

Применяя к H(s) согласованное z-преобразование получим:

 

 

Если полюсы и нули звена второго порядка являются комплексно-сопряженными, тогда p₂=p₁^* и z₂=z₁^* и правая часть последнего уравнения сводится к следующему

 

 

где и , и - действительная и мнимая части z₁ и p₁ соответственно.

Более удобным для практического применения является представление передаточной функции H(s) в виде рациональной дроби:

 

В такой форме полюсы и нули H(s) можно найти по следующим выражениям:

 

 

Определив действительную и мнимую части нулей и полюсов H(s), с помощью приведенных выше формул можно вычислить передаточную функцию H(z) эквивалентного цифрового фильтра

Если полюсы (или нули) комплексные, то это выражение можно переписать следующим образом:

 

 

В этом случае, полюсы цифрового фильтра оказываются идентичными полюсам, получаемым при инвариантном преобразовании импульсной характеристики того же аналогового фильтра, однако нули существенно различаются.

Данный метод довольно прост в использовании, однако во многих случаях он не применим. Так, и/или частоты аналогового фильтра, соответствующие его нулям, превышают половину частоты дискретизации(частоты Найквиста), то положение нулей цифрового фильтра будет существенно искажено эффектом наложения.

Согласованное z-преобразование неприменимо также в случае, когда передаточная функция аналогового фильтра имеет только полюсы. Передаточная функция ЦФ также будет иметь только полюсы, но во многих случаях она не будет соответствовать исходному аналоговому фильтру.

Вообще же использование инвариантного преобразования импульсной характеристики или билинейного z-преобразования предпочтительнее использования согласованного z-преобразования.

Следует отметить, что при разработке фильтров данным методом важно помнить, что для того чтобы коэффициенты фильтра были действительными, полюса и нули должны либо быть действительными, либо образовывать комплексно-сопряженные пары.

 

30. Частотные преобразования, применяемые при разработке БИХ-фильтров на основе билинейного z-преобразования.