Поверхностные волны над слоем диэлектрика на металле

4.9.1. В качестве направляющих систем могут применяться устройства, представляющие собой металлическую поверхность, покрытую слоем диэлектрика (рис. 4.1,и). Рассмотри простую структуру, образованную металлической плоскостью, покрытой слоем диэлектрика постоянной толщины с однородными параметрами , (рис. 4.19). Внутри слоя находится параллельная металлической плоскости бесконечная прямолинейная нить синфазного магнитного тока. Устройство расположено в пространстве с однородными параметрами , . Считаем что , . Необходимо найти возбуждаемое нитью электромагнитное поле. Последнее должно удовлетворять уравнения Максвелла в слое диэлектрика и в окружающем пространстве, граничным условиям на металлической поверхности и на поверхности раздела диэлектриков и, наконец, условиям излучения.

Введем декартову систему координат и расположим её так, что бы ось была параллельна нити тока, а плоскость совпадала с металлической плоскостью. Координаты нити тока обозначим через , . Тогда , . Обозначим через , и векторы электрического и магнитного полей и магнитный векторный потенциал, возбуждаемые сторонним источником в слое диэлектрика, т.е. при , а через , и - векторы электрического и магнитного полей и магнитный векторный потенциал в верхнем полупространстве . Если считать металлическую плоскость идеально проводящей, то в соответствии с граничным условием (3.14) имеем

(4.123)

На поверхности раздела диэлектриков получаем из условия (3.12)

(4.124)

Рис. 4.19. Слой диэлектрика на металлической плоскости и нить тока в слое

Это есть граничные условия для искомого электромагнитного поля , то , . Вектор содержит одну составляющую , поэтому , . Функция удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмгольца (4.125)

где . Поскольку в области сторонних источников нет, то функция удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца

(4,126)

где

Составляющими векторов , и , , касательными металлической поверхности и поверхности раздела диэлектриков, являются , , , , , , , . Определяем их по формулам (1.115), (1.116):

(4.127)

.

Подставляя последние выражения в условия (4.123), и (4.124), получаем граничные условия для функции , :

(4.128)

(4.129)

Уравнения (4.125), (4.126) совместно с граничными условиями (4.128), (4.129) составляют граничную задачу.

4.9.2 Для решения поставленной граничной задачи используем преобразование Фурье для функций , .

Сначала рассмотрим физические соображения, которыми руководствуются при решении задачи. Сторонний ток возбуждает электромагнитное поле, которое, распространяясь в слое при , возбуждает поле и в верхнем полупространстве при . Возбуждаемая нитью тока волна, распространяясь в направлении границы под некоторым углом должна отразится. Отраженная волна распространяясь в направлении верхней границы под некоторым углом, должна тоже частично или полностью отразиться. Поле в слое диэлектрика образуется, таким образом, в результате наложения парциальных волн.

Полное электромагнитное поле , в слое диэлектрика представим в виде суммы первичного поля , и вторичного поля , . Первичное поле вычисляется в предположении, что сторонний источник расположен в неограниченном пространстве с параметрами , . Вторичное поле обусловлено переотражениями от границ раздела или, другими словами, возникающими эквивалентными поверхностными токами на границах раздела сред. В соответствии с этими представлениями векторный потенциал полного поля тоже является суммой векторных потенциалов первичного и вторичного поля:

(4.130)

Векторы и удовлетворяют соответственно неоднородному и однородному векторным уравнениям Гельмгольца. Граничные условия (4.128), (4.129) для и (4.129) для являются неоднородными, так как в них входит заданная функция . В математической записи неоднородности в граничных условиях можно считать источниками вторичных полей и, значит функций , , удовлетворяющих однородным уравнениям Гельмгольца.

Решение неоднородного уравнения (4.125) для определено формулой (2.21):

Подставляя в эту формулу функцию Грина из выражения (2.16) и выражение тока , используя основное свойство -функций и учитывая, что получающийся интеграл по в бесконечных пределах равен , имеем

d

 

Выполняя интегрирование по так же, как в выражении (2.25), получаем

 

(4.131)

верхний знак берется при , нижний при , .

Итак, магнитный векторный потенциал первичного поля при имеет только одну составляющую . Магнитный векторный потенциал вторичного поля тоже имеет только одну составляющую .

Поскольку вторичное поле , обусловлено парциальными волнами, отраженными от границ раздела сред при и при ,представляем его в виде суммы полей, одно из которых обусловлено отражением от нижней границы раздела, а второе – от верхней. Решение однородного уравнения (4.125) для тогда представляем в виде суммы

 

(4.132)

где - спектральная плотность волн, возбуждаемых поверхностными токами, протекающими на металлической плоскости, при ; поскольку для этих волн , то при показателе экспоненты взят знак «минус». Аналогично - спектральная плотность волн, возбуждаемых поверхностными токами, протекающими на поверхности поскольку для этих волн , то при показателе экспоненты взят знак «плюс».

Из граничного условия (4.128) можно получить связь между функциями и . С учетом формул (4.130)-(4.132) из условия (4.128) получаем, используя обозначение :

) +exp(

Подставляем в формулу (4.132), получаем

 

(4.133)

Спектральную плотность определим из граничного условия(4.129). Для этого надо записать разложение функции . Поскольку в верхнем полупространстве сторонних источников нет, то поле , при является вторичным. Составляющая векторного потенциала этого поля определяется эквивалентными поверхностными токами (вторичными) при . Поэтому решение уравнения (4.126) записываем в виде

(4.134)

где - спектральная плотность; ; при показателе экспоненты взят знак «минус» с учетм условия излучения и расположения вторичных источников при .

Подставляя выражения (4.131), (4.133) и (4.134) в граничные условия (4.129), применяя обратное преобразование Фурье, получаем

 

 

 

Это система двух функциональных уравнений относительно и . Решая ее, получаем

 

,

(4.135)

 

(4.136)

Значит, если подставить эти функции в выражения (4.133), (4.134) и выполнить интегрирование, то найдем , . Векторы напряженности электрического и магнитного полей в диэлектрическом слое и надо слоем определяются по формулам (1.115), (1.116). Поскольку , а и , то в слое и над слоем распространяется -волна.

Решение задачи удовлетворяет условиям теоремы единственности.

4.9.3. Рассмотрим поле над слоем диэлектрика. Пусть потери отсутствуют, т.е. , . Тогда и - действительные величины, по условию.

Из выражений (4.134) и (4.136) имеем

 

(4.137)

Подынтегральная функция в точках имеет полюсов первого порядка, определяемых из уравнения

(4.138)

и точки ветвления при и . Контур интегрирования по действительной оси замкнем полуокружностью бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости при и в нижней полуплоскости при . Точки ветвления необходимо выделить разрезами. Вычеты в полюсах равны

 

при

 

где штрих над квадратной скобкой означаем производную по , знак «плюс» соответствует , а «минус» . Значение интеграла (4.137), обусловленное полюсами, равно , умноженному на сумму вычетов в соответствующей полуплоскости. Введем обозначение

при

Тогда из (4.137) имеем

 

(4.139)

где верхний знак соответствует , нижний ; - значение части интеграла (4.137), вычисленное по ветвям разрезов, выделяющих точки ветвления; определяет поле пространственной волны.

Наиболее интересной в случае применения направляющих систем является сумма по , входящая в формулу (4.139). При имеется только один полюс и получаем

Первое слагаемое здесь при , действительном и большем , определяет поверхностную волну. Амплитуда ее максимальна на поверхности раздела сред () и уменьшается по экспоненциальному закону при удалении точки наблюдения по нормали к поверхности раздела. Вдоль увеличивающихся значения поле имеет характер бегущей волны. Подобная волна уже рассматривалась в § 2.11, но там она была получена путем подбора распределения тока, образующего бесконечный тонкий слой (на математической модели). Возникновение поверхностной волны в настоящей задаче обусловлено наличием слоя диэлектрика, т.е. особенностями физической модели.

Если имеет полюсов, то первое слагаемое в формуле (4.139) при , действительных и больших , определяет поверхностную волну, каждая из которых имеет свою фазовую скорость и распределение поля вдоль оси . Действительно, обозначая через

 

 

слагаемое выражения (4.139), характеризующее поверхностную волну, находим из соотношений (1.115), (1.116) или (4.127) составляющие вектором напряженности поля поверхностных волн:

(4.140)

 

 

(4.141)

(4.142)

Эти выражения описывают поле поверхностных - волн. Тип волны характеризуется числом . Вектор Пойтинга имеет две составляющие и . Но является чисто мнимым, а действительным. Значит, слой диэлектрика на металле является направляющей системой: энергия канализируется вдоль слоя перпендикулярно нити стороннего тока. С помощью выражений (4.140)-(4.142) можно рассчитать мощность переносимую поверхностной волной вдоль слоя на разных расстояниях от слоя диэлектрика. Очевидно, что с ростом амплитуда составляющих поля у поверхности увеличиваются и большая часть энергии электромагнитного поля переносится поверхностной волной в слое и на малых расстояниях от поверхности раздела сред (волна локализуется у поверхности раздела сред).

Рис. 4.20. К решению характеристического уравнения

4.9.4 Для того что бы изучить разные типы поверхностных - волн, характеризуемых числом , надо изучить влияние параметров слоя на значения и на количество полюсов.

Рассмотри характеристическое уравнение (4.138), определяющее значения , т.е. значения коэффициентов распространения или коэффициентов фазы (при действительном) поверхностных волн (4.140)-(4.142). Пусть . Тогда уравнение (4.138) после умножения на приводится к виду

(4.143)

 

Это трансцендентное уравнение проще всего решать и анализировать графическим методом. С этой целью построим график зависимости правой части уравнения (4.143) от (сплошные кривые на рисунке 4.20). Для того чтобы построить график зависимости левой части уравнения от учтем, что

(4.144)

где - известная величина, так как и параметры сред заданы. Последнее выражение есть уравнение окружности на плоскости переменных и c центром в начале координат; с его помощью просто построить зависимость левой части уравнения (4.143) (штриховая кривая на рис. 20). Точки или , в которых графики пересекаются, соответствуют равенству левой и правой частей уравнения (4.143), т.е. корням уравнения. Величины и являются положительными, поэтому графики функций изображены только в первом квадранте.

Из графиков следует, что уравнение (4.143) или (4.138) может иметь несколько решений или , соответствующих корням [знаки " " и перед радикалами учтены в выражениях (4.139)-(4.142)]. Одна из кривых для правой части уравнения (4.143) проходит через начало координат, поэтому при любом значении имеется решение уравнения (4.143). Значит, при любом малом значении толщины диэлектрического слоя и любой частоте имеется первый корень уравнения Сплошные кривые пересекают оси в точках, где , Если , т.е. , то уравнение (4.143) может иметь лишь одно решение . Последнее соответствует основной волне, так как критическая частота при этом равна нулю.

Если , т.е. , то возможно еще одно решение и в направляющей системе может распространяться еще одна волна. Если , то в системе возможно распространение волн с разными значениями коэффициентов распространения . Значения

соответствуют толщинам, при которых могут возникать первый, второй и т.д. типы волн, т.е. волны высших типов.

В случае, если велико, то сплошные кривые имеют большую крутизну: пересечение штриховой кривой с первой ветвью сплошной кривой происходит при , при этом , т.е. . Значит, и основная волна распространяется с фазовой скоростью , соответствующей фазовой скорости в неограниченном пространстве с параметрами . Для вол высших типов с ростом растет крутизна сплошных кривых, поэтому и, значит , т.е. .

Если , то и ,значит фазовая скорость волны . Если толщина слоя , то ; поэтому и для вновь возникающего типа поверхностей волны .

рис. 4.21. Графики зависимости коэффициентов замедления поверхностных Е-волн от толщины слоя.

Таким образом, для всех типов волн удовлетворяется соотношение ,

. Значит фазовые скорости всех типов поверхностных волн меньше фазовой скорости волны, распространяющейся в неограниченном пространстве с параметрами и больше фазовой скорости волны, распространяющейся в неограниченном пространстве с параметрами . Поверхностные волны по отношению к верхнему полупространству являются медленными. Замедление фазовой скорости часто является одним из основных параметров. Поэтому вводят коэффициенты замедления волн, равные ( и - действительные величины). Последние можно рассчитать, вычислив значения . На рис. 4.21 приведены расчетные графики для случая, когда , , .

Отличие структуры электрического и магнитного полей определенного типа поверхностной Е-волн, от структур, изученных в §2.11 и 2.12, состоит только в том, что силовые линии электрического поля не перпендикулярны поверхности раздела , так как при отличного от нуля (рис. 4.22)

Рис. 4.22. Силовые линии электрического и магнитного полей над слоем диэлектрика на металле в момент времени .

 

 

4.9.5. Рассмотрим поверхностное сопротивление слоя диэлектрика на металлической плоскости. Пусть толщина слоя мала ( мало) так что в направляющей системе распространяется только волна основного типа, и При этом . Если обозначить

, то ,

Т.е. поперечная составляющая вектора Пойнтинга имеет обычный вид. Определим величину на поверхности раздела сред, т.е. при используя формулы (4.140)-(4.142), а затем (4.143), получаем

.