Представление функции Грина в декартовой и цилиндрической системах координат

Часто электродинамические задачи необходимо решать в декартовой или цилиндрической системе координат. При этом используются представления функции Грина в интегральной форме. Последние можно получить с помощью выражения (2.16).

2.4.1. Рассмотрим прежде всего это выражение в декартовой системе координат. Формулу (2.16) можно упростить, выполнив интегрирование, скажем, по . Подынтегральное выражение (2.16) на плоскости комплексного переменного при фиксированных значениях и имеет две особые точки типа полюса при и при , где . Предположим, что , где k – действительная величина. Тогда на плоскости комплексного переменного первый полюс находится в верхней полуплоскости, а второй в нижней. Если , то

(2.25)

можно дополнить интегралом по полукругу бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости (рис. 2.4), где при подынтегральное выражение стремится к нулю. Тогда последний интеграл равен интегралу по замкнутому контуру , охватывающему особую точку. Применяя теорему о вычетах, находим, что интеграл равен произведению на вычет в верхней полуплоскости в точке . Выполняя вычисление, находим, что выражение (2.25) равно .

Если , то исходный интеграл (2.25) можно дополнить интегралом по полукругу бесконечно большого радиуса в нижней полуплоскости, где при подынтегральное выражение стремится к нулю. Тогда интеграл (2.25) равен интегралу по замкнутому контуру. Применяя теорему о вычетах, находим, что интеграл (2.25) равен .

Таким образом, учитывая значение интеграла по в формуле (2.16), получаем

, (2.26)

где знак «плюс» в показателе экспоненты берется при , а знак «минус» - при .

Если , то, выполним вычисление интеграла (2.25), получим тем же путем из формулы (2.16) выражение (2.26). Формула (2.26) остается верной и для среды с потерями, т.е. когда - комплексная величина.

Отметим, что в выражение (2.16) можно было выполнить интегрирование по или ; при этом получаются ещё два выражения, аналогичные (2.26). Формула (2.26) применяется весьма эффективно во многих внешних задачах электродинамики.