Плотность. Уравнение состояния реального газа

r = 1/v = m/V (кг/м³)

 

Уравнение состояния реального газа

pv/RT = z.

где z = 1 + a r + br² + cr³ – характеристика сжимаемости (функция плотности),

a, b, c – вириальные коэффициенты, которые зависят от состояния газа и температуры.

Рис. 1. Зависимость сжимаемости газов от температуры

 

При малых давлениях, для идеального газа принимают z = 1, тогда уравнение состояния принимает форму Менделеева-Клапейрона

pv = RT,

или pV = mRT,

 

где R – газовая постоянная одного килограмма газа 8314/m [Дж/кг´К]

mR = 8314 – работа одного моля газа, совершаемая при нагреве на один градус.

Для реальных газов часто уравнение состояния применяется в виде уравнения Ван-Дер-Ваальса:

(p + a/v²)(v - b) = RT

где a/v², b – поправки на взаимное влияние молекул и их размеров.

 

2. Смеси идеальных газов

Рассмотрим смеси идеальных газов не вступающих в химические реакции. Даны молекулярные веса и газовые постоянные соответственно смеси и её компонентов: m, R, m_i, R_i

Каждый из этих компонентов оказывает свое давление, причём давление смеси определяется законом Дальтона.

p = Sp_i

V_i – парциальный объем – это тот объем, который занимал бы компонент при давлении и температуре смеси (V_i ® p,T).

Состав смеси можно задавать:

1. Объемными долями r_i = V_i/V, в смеси: Sr_i = 1

V_ip = p_iV_i p_i = r_ip

2. Молярными долями M_i = m/m_i, в смеси: M = SM_i,

молярная доля компонентов: Y_i = M_i/M SY_i = 1

3. Массовыми долями: q_i =m_i/m m = Sm_i Sq_i = 1

 

Молекулярный вес смеси

m_смеси = Sm_i/SM Þ Газовая постоянная смеси R = Sq_iR_i, m_i - масса компонента.

Пример 1.

 

Сухой воздух, состоит по объему из 21% О₂; 79% N_2. Определить газовую постоянную и парциальные давления R; p _i;

P_СМ=760 мм рт. ст.

 

Решение:

мм рт. ст.

мм рт. ст.

 

Пример 2.

Определить массовый мольный состав воздуха.

 

 

Понятие о равновесном и обратимом процессах.

Уравнение состояния справедливо для газа, находящегося в покое. Такое состояние называется равновесным, т.е. когда параметры одинаковы по всему объему.

Для выведения его из этого состояния, необходимо воздействие окружающей среды, т.е. необходим процесс. Процесс – любое изменение состояния рабочего тела.

В зависимости от взаимодействия со средой процесс может быть равновесным и неравновесным.

Равновесный термодинамический процесс – когда в любой момент рабочее тело находится в равновесном состоянии.

1. Бесконечно малая разность давлений рабочего тела и окружающей среды.

2. Бесконечно малая разность температур рабочего тела и окружающей среды.

3. Равновесный процесс должен протекать бесконечно медленно.

Для изменения направления равновесного процесса, достаточно только изменить знак у dP и dT. При свершении такого процесса в одном, затем в другом направлении в системе не произойдет никаких изменений. Поэтому равновесный процесс при отсутствии трения называется обратимым процессом.

В теоретических циклах все процессы обратимы.

В реальных двигателях процессы считают равновесными или квазиравновесными, но в следствии трения этот процесс необратим.

 

Энергетические характеристики термодинамической системы

 

· Энергия - Е

Для системы, имеющей массу m полная энергия складывается из кинетической, потенциальной и внутренней

Е = Е_К + Е_П + U,

Соответственно для одного килограмма газа – удельная энергия:

е = е_к + е_п + u

Кинетическая энергия представляет собой энергию движущихся молекул:

Е_К = mv²/2

Потенциальная энергия характеризуется тем, что её изменение может происходить лишь при перемещении рабочего тела, находящегося в силовом поле.

Внутренняя энергия определяется взаимоотношением частиц рабочего тела и является функцией состояния. U = U(T,V) – функция температуры и объема.

Изменение внутренней энергии: ∆U = U₂ – U_1,

Д ля сложной системы внутренняя энергия складывается: U = åU_i.

 

Внешняя работа газа в равновесном процессе.

Работа и теплота не являются видами энергии, а являются способами обмена энергии системы с другими телами.

 

Рассмотрим пример перемещения поршня в цилиндре под действием нагреваемого газа (процесс 1-2).

Элементарная работа совершаемая газом равна произведению давления газа в цилиндре на площадь поршня и элементарное перемещение

 

dL = pfdx = pd

Полная работа находится инегрированием по перемещению поршня или изменению объёма.

L = ò pfdx = òpdv,

 

Выделяемое или подводимое тепло

 

dQ = mCdt

 

Тепло и работа являются функциями термодинамического процесса

 

· Энтальпия – Н характеризует запас энергии в системе и для термодинамических систем она совпадает с энергией.

Н = Е.

Если система подвижна, то энтальпия равна сумме внутренней энергии и совершаемой работы

Н = U + Pdv

Функции состояния и функции процесса.

Функции состояния: Все параметры состояния ()

Функции процесса: Работа и тепло.

1. Установим математические характеристики функций состояния на примере U:

DU – полный дифференциал, его свойство то, что - не зависит от пути процесса, а зависит только от начального и конечного состояния.

, следствие

2. Функции процесса – например работа:

, то

, т.е. dq – не является полным дифференциалом.

Энтропия как параметр состояния идеального газа.

Понятие энтропия было введено в науку в середине 19 века и может быть определено в качестве обобщённой координаты при тепловом воздействии на систему по аналогии с изменением объёма при механическом воздействии, что видно из таблицы.

 

Воздействие	Энергия воздействия	Движущая сила	Обобщенная координата
деформационное	dl	P	dV
тепловое	dq	T	ds

На основе первого закона для идеального газа и обратимого процесса (используя уравнение Менделеева – Клайперона и обратимость работы)

 

Тепло q – не является параметром состояния.

dq – можно представить как полный дифференциал, подобрав соответствующий интегральный множитель или делитель, например температуру Т.

()

Правая часть не зависит от пути интегрирования.

Интеграл постоянный не зависит от вида процесса.

- обладает свойством полного дифференциала, а S – параметр состояния газа, энтропия.

 

После интегрирования от первого состояния до второго получаем

 

Для массы М, кг

Энтропия смеси равна сумме энтропий составляющих при парциальных давлениях и температуре смеси.

Энтропия используется для графического исследования процессов, так как площадь под кривой, изображающей процесс эквивалентна подводимому к рабочему телу теплу.

;

Т>0

Если , то

 

4. Теплоемкость идеальных газов и их смесей.

Теплоемкость – это количество тепла необходимое для нагрева 1 кг вещества на 1°. Для газа может быть изохорной (процесс происходит в неизменном объеме) и изобарной (процесс происходит при одинаковом давлении). Рассмотрим пример: нагревание газа в цилиндре при постоянном и переменном объёме.

В первом случае всё тепло затрачивается на

изменение внутренней энергии,

V = const – C_v ® DU

Во втором - на изменение внутренней энергии и

совершение работы.

p = const – C_p ® DU + DL

Разность изобарной и изохорной теплоёмкостей представляет работу одного килограмма газа, совершаемую при его нагревании на один градус иявляется газовой постоянной

C_p - C_v = R

Универсальная газовая постоянная для одного моля газа

m(C_p - C_v) = 8314 Дж/мольК

 

 

Соотношение между изобарной и изохорной теплоемкостями зависит от атомности газа, в частности от числа степеней свободы его молекул.

1 ат. – 3 степени свободы все за счет поступательного движения.

2 ат. – 5 степеней свободы: 3 за счет поступательного движения + 2 за счет вращательного.

3 ат. – 6 степеней свободы: 3 за счет поступательного движения + 3 за счет вращательного.

Показатель адиабаты, равный отношению изобарной и изохорной теплоёмкостей зависит от числа атомов в молекуле

k = C_p/C_v

 

k_{1 ат} = 1,67; k_{2 ат} = 1,40; k_{3 ат} = 1,33; k_{воздуха} = 1,4.

 

Теплоёмкости зависят от температуры и давления, что видно из приведённых ниже связей

C_v =C_v^ид + DC_v

C_p = C_p^ид + DC_p

DC_v; DC_p = f(p) C_v^ид; C_p^ид = f(T)

 

Количество тепла, необходимое для нагрева одного килограмма газа на одинаковое количество градусов в различном температурном диапазоне неодинаково, что видно из рис.

Dq_{3 - 4} > Dq_{1 – 2}

t₄ - t₃ = t₂ - t₁

 

Задачи можно решать по средней теплоемкости в данном интервале температур. Теплоемкость газовой смеси определяется теплоемкостями входящих в них компонентов массовыми и объемными долями.

 

5. Первый закон термодинамики.

 

В термодинамике принято теплоту подведенную к рабочему телу считать положительной, а отведенную от него отрицательной. Совершаемая газом работа считается положительной, отводимая – отрицательная. Рассмотрим закрытую систему, для которой первый закон термодинамики формулируется:

Подводимое к газу тепло расходуется на превращение внутренней энергии и на совершение работы

dq = du + dl (1),

или

dq = C_udT + pdV (2)

 

для 1 кг газа (3).

Результат интегрирования в выражении (3) зависит от характера термодинамического процесса.

dq = C_pdT – UdP.

 

Для потока газа (открытой системы) первый закон термодинамики:

Подведенное к газу тепло идет на изменение внутренней энергии, совершение работы, изменение кинетической энергии и изменение потенциальной энергии положения.

w₁, w₂ – скорости газа в 1-м и 2-м сечениях

g – ускорение свободного падения.

 

6. Политропный процесс.

Изменение внутренней энергии пропорционально подводимому или отводимому теплу.

dU = jdq, j (- ¥; +¥).

Если j = const – процесс политропный – процесс, в котором доля тепла идущего на изменение внутренней энергии есть величина постоянная.

dq = dU + I = jdq +l

dq = CdT, С – теплоемкость политропного процесса,

, pvⁿ = const,

nÎ(- ¥; +¥) – показатель политропы.

Рассмотрим расчет работы и внутренней энергии для политропного процесса.

- связываем параметры газа. Из этой системы можно исключить два параметра, оставив два.

Заменим удельный объём на плотность [кг/м³] – если в термодинамике принято оперировать удельным объемом, то в газовой динамике с плотностью.

Решив указанную систему можно получить соотношения параметров для политропного процесса , используя которые получим работу расширения для 1 килограмма газа

следовательно работа политропного процесса:

;

изменение внутренней энергии DU = C_v (T₂ – T₁);

тепло процесса q = DU + l.

 

Рассмотрим графики основных термодинамических процессов в координатах p-V и T-s.

Изохорный -Это процесс протекающий без изменения объема газа.

V = const.

q = DU = С_v(T₂ – T₁).

Площадь под линией в координатах p-V характеризует совершаемую работу.

V = const

При изохорном процессе невозможно получить полезную работу.

 

Изобарный - процесс, протекающий при постоянном давлении.

 

; ; ; ;

 

Уравнение Майера для определения подводимого в изобарном процеесе тепла.

Изотермический - процесс происходящий без изменения температуры.

Т = const.

pV = RT = const

 

p₁V₁ = p₂V₂

Т₁ и Т₂ – разные температуры процессов.

Работа рассчитывается по формуле

.

Адиабатный – это процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой.

 

pv^k = const, - показатель диабаты (для воздуха k = 1,4); Работа при адиабатном процессе равна изменению внутренней энергии рабочего тела

; l = -DU;

T¯ Þ l­.

Особенности процессов в тепловых машинах.

 

Особенность тепловых машин: рабочее тело проходит через машину. Т.е. любая тепловая машина – проточная система. Поэтому необходимо ввести новые характеристики термодинамических процессов.

Рассмотрим общую схему тепловой машины, конкретно – тепловой двигатель. В трубопровод 1 поступает рабочее тело P₁, V₁, T₁ (и т.д.). В машине М это тело деформируется, затем поступает в выпускной трубопровод 2 с параметрами P₂, V₂, T₂ (и т.д.). К рабочему телу подводится тепло q, с выходного вала получается работа.

 

Несколько изменим схему

Внутренняя энергия газа во впускном трубопроводе 1 – U₁. Внутренняя энергия газа в выпускном трубопроводе 2 – U₂ полностью P;T;V.

- для идеального газа.

Работа деформации раскладывается на составляющие:

- внешне полезная;

- располагаемая

- техническая работа.

Внешне полезной l_п называется та часть от общей работы которая идет например на вращение вала или другую рабочую операцию.

В общем случае часть работы расходуется на увеличение кинетической энергии рабочего тела, это есть располагаемая работа газа l_р, т.к. ее можно превратить в работу (использовав турбину и т.д.).

Если в поршневых и турбинных двигателях главный результат l_п, то в реактивных двигателях главный результат – l_р. Эта располагаемая работа реализуется в процессе полета ракет или летательных аппаратов.

Сумма внешне полезной и располагаемой работ называется технической работой.

Работа вытеснения.

Проходя через машину газ совершает работу. При поступлении совершается работа вталкивания, т.к. давление в трубопроводе 1 постоянно, то величину работы можно посчитать:

- она отрицательна, т.к. она совершается над рабочим телом.

На выходе из машины совершается работа выталкивания:

Их алгебраическая сумма – работа вытеснения.

Вся работа деформации l состоит из:

 

 

Изображение технической работы в диаграмме P-V.

 

 

Рассмотрим соотношение между работой деформации l ии технической работой l ’:

Для внешней работы в политропном процессе:

Сравним l и l ’:

II-й закон термодинамики.

 

I-й закон не касается условий, при которых возможен переход тепла в работу. Опыт показывает, что если Т_А > Т_В, то тепло идет только от А к В, причем при Т_А = Т_В теплообмен прекращается. Исходя из I-го закона термодинамики непонятно почему в тепловых двигателях все подведенное тепло не превращается в работу (h < 1), хотя известно, что работа превращается в тепло на 100%.

Все эти взаимные превращения рассматриваются II-м законом термодинамики, он ограничивает действие I-го закона.

1) Установление условий превращения тепла в работу.

2) Установление степеней совершенства этого превращения.

 

Формулировка II-го закона термодинамики.

 

Формулировка Карно (для тепловых двигателей):

Всюду, где имеется разность температур, возможно возникновение работы.

Т.е. тепло не может всё превращаться в работу, часть тепла переходит к источнику с низкой Т°.

 

Формулировка Оствольда:

Осуществление вечного двигателя II-го рода (кпд =100%) невозможно.

 

Формулировка …:

Тепло не может переходить само собой от тела более холодного к более нагретому.

Т.е. для этого перехода необходимо затратить работу, например в холодильных машинах.

 

Формулировка Ломоносова:

Холодное тело В, погруженное в тело А не может воспринять большую степень тепла, чем имеет А.

 

Круговые процессы (циклы).

Круговым процессом называют всякий процесс, в результате которого рабочее тело приходит в исходное состояние.

Рабочие процессы в тепловых машинах рассматриваются как циклы,

Паротурбинная установка – очевидно. Двигатель внутреннего сгорания – менее очевидный цикл, нужно в систему включать атмосферу, являющуюся холодильником.

Для цикла изменение внутренней энергии DU =0, всё подводимое тепло расходуется на совершение работы q = l.

Все термодинамические циклы разделяются на 2 группы:

а) прямые – тепловые двигатели.

б) обратные – холодильные машины.

 

Прямой цикл и его характеристика.

Это цикл, который в координатных осях p-V совершается по часовой стрелке.

В каждом цикле можно выделить 2 группы процессов:

а) расширения D V > 0

б) сжатия D V < 0

а) работа расширения соответствует площади под кривой l_расш=1a2mn, онаограничена линейным перемещением поршня. Затем необходимо вернуть поршень в исходное положение, а рабочее тело в исходное состояние, т.е. необходимо совершить процесс сжатия.

б) работа сжатия соответствует площади под кривой l_сж=2b1nm

l_расш > l_сж – в прямом цикле,

l_расш-l_сж=l₀ – полезная работа цикла.

Рассмотрим цикл в диаграмме T – S.

1а2 – тепло подводится

q₁=1a2сd – подводимое тепло

q₂=2b1dc – отводимое тепло

Видно, что для совершения цикла тепло надо и отводить и подводить.

D U= 0 – т.к. это цикл

- на основании I-го закона термодинамики

q ₀ – полезная теплота цикла

Характеристикой прямого цикла является термический КПД цикла.

Это есть отношение количества тепла, превращенного в работу, ко всему подводимому за цикл теплу.

Среднее давление цикла:

 

Цикл Карно.

Из всех возможных циклов он обладает максимальным термическим КПД. Выбирая наивыгоднейшие процессы, образующих цикл, Карно доказал, что лучшим является обратимый цикл, состоящий из 2-х изотерм и 2-х адиабат.