ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКИ

I.. Однородная стенка. Рассмотрим однородную ци­линдрическую стенку (трубу) длиной ℓ, с внутренним радиусом r₁ и внешним r₂ . Коэффициент теплопроводности материала λ постоя­нен. Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при по­стоянных температурах t₁ и t₂, причем t₁ > t₂, (рис. 1-11) и темпе­ратура изменяется только в радиальном направлении r. Следова­тельно, температурное поле здесь будет одномерным, а изотермиче­ские поверхности цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом г и толщи­ной dr, ограниченный изотермическими поверхностями. Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее в единицу времени через этот слой, равно:

 

Разделив переменные, имеем:

 

(б)

 

После интегрирования уравнения (б) находим:

 

(в)

Подставляя значения переменных на границах стенки (при r = r₁ t=t₁ и при r = r₂ t=t₂) и исключая постоянную С, полу­чаем следующую расчетную формулу:

 

 

(1-10)

Следовательно, количество теплоты, переданное в единицу вре­мени через стенку трубы, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ, длине ℓ и температурному напору ∆t = t₁ - t₂ и обратно пропорционально натуральному логарифму отношения внешнего диаметра трубы d2 к внутреннему d1. Формула (1-10) справедлива и для случая, когда t₁ < t₂, т. е. когда тепловой по­ток направлен от наружной поверхности к внутренней.

Количество теплоты, проходящее через стенку трубы, может быть отнесено либо к единице длины ℓ, либо к единице внутренней F1 пли внешней F2 поверхности трубы. При этом расчетные фор­мулы соответственно принимают следующий вид:

 

(1-11)

 

(1-12)

 

 

 

 

(1-13)

 

 

Так как площади внутренней и внешней поверхностей трубы различны, то различными получаются и значения плотностей теп­ловых потоков q1 иq 2. Взаимная связь между ними определяется соотношением

или

Уравнение температурной кривой внутри однородной цилин­дрической стенки выводится из уравнения (в). Подставляя сюда значения Q и С имеем:

 

(1-14)

Следовательно, в этом случае при постоянном значении коэффи­циента теплопроводности λ температура изменяется по логарифмической кривой (рис. 1-11). С учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры λ= λ_о (1 + bt ) уравнениетем­пературной кривой принимает следующий вид:

(1-15)

 

2. М и о г о с л о й н а я с т е н к а. Пусть цилиндрическая стенка состоит из трех разнородных слоев. Диаметры и коэффици­ентытеплопроводности отдельных слоев известны, их обозначения см. на рис. 1-12. Кроме того, известны температуры внутренней

 

 

Рис. 1-11. Однородная цилиндрическая стенка. Рис. 1-12. Многослойная цилиндрическая стенка

 

! и внешней поверхностей многослойной стенки t₁ и t₄. В местах же соприкосновения слоев температуры неизвестны, обозначим их через t₁ и t₃.

При стационарном тепловом режиме через все слои проходит одно и то же количество теплоты. Поэтому на основании уравнения (1-11) можно написать:

 

(г)

 

Из этих уравнений определяется температурный напор вкаж­дом слое:

(д)

Сумма этих температурных напоров составляет полный темпера­турный напор. Складывая отдельно левые и правые части системы уравнении (д), имеем:

(е)

из этого уравнения определяем значение линейной плотности теп­лового потока q_ℓ:

(1-16)

 

По аналогии с этим сразу можно написать расчетную формулу для n-слойной стенки

 

(1-17)

 

 

Значения неизвестных температур t₂ и t₃ поверхностей сопри­косновения слоев определяются из системы уравнений (д):

(1-18)

 

 

Согласно уравнению (1-14), внутри каждого слоя температура изменяетсяпо логарифмическому закону, а для многослойной стенки в целом температурная кривая представляет собой лома­нуюкривую (рис. 1-12).