ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКИ
I.. Однородная стенка. Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) длиной ℓ, с внутренним радиусом r1 и внешним r2 . Коэффициент теплопроводности материала λ постоянен. Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах t1 и t2, причем t1 > t2, (рис. 1-11) и температура изменяется только в радиальном направлении r. Следовательно, температурное поле здесь будет одномерным, а изотермические поверхности цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом г и толщиной dr, ограниченный изотермическими поверхностями. Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее в единицу времени через этот слой, равно:
Разделив переменные, имеем:
(б)
После интегрирования уравнения (б) находим:
(в) Подставляя значения переменных на границах стенки (при r = r1 t=t1 и при r = r2 t=t2) и исключая постоянную С, получаем следующую расчетную формулу:
(1-10) Следовательно, количество теплоты, переданное в единицу времени через стенку трубы, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ, длине ℓ и температурному напору ∆t = t1 - t2 и обратно пропорционально натуральному логарифму отношения внешнего диаметра трубы d2 к внутреннему d1. Формула (1-10) справедлива и для случая, когда t1 < t2, т. е. когда тепловой поток направлен от наружной поверхности к внутренней. Количество теплоты, проходящее через стенку трубы, может быть отнесено либо к единице длины ℓ, либо к единице внутренней F1 пли внешней F2 поверхности трубы. При этом расчетные формулы соответственно принимают следующий вид:
(1-11)
(1-12)
(1-13)
Так как площади внутренней и внешней поверхностей трубы различны, то различными получаются и значения плотностей тепловых потоков q1 иq 2. Взаимная связь между ними определяется соотношением или Уравнение температурной кривой внутри однородной цилиндрической стенки выводится из уравнения (в). Подставляя сюда значения Q и С имеем:
(1-14) Следовательно, в этом случае при постоянном значении коэффициента теплопроводности λ температура изменяется по логарифмической кривой (рис. 1-11). С учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры λ= λо (1 + bt ) уравнениетемпературной кривой принимает следующий вид: (1-15)
2. М и о г о с л о й н а я с т е н к а. Пусть цилиндрическая стенка состоит из трех разнородных слоев. Диаметры и коэффициентытеплопроводности отдельных слоев известны, их обозначения см. на рис. 1-12. Кроме того, известны температуры внутренней
Рис. 1-11. Однородная цилиндрическая стенка. Рис. 1-12. Многослойная цилиндрическая стенка
! и внешней поверхностей многослойной стенки t1 и t4. В местах же соприкосновения слоев температуры неизвестны, обозначим их через t1 и t3. При стационарном тепловом режиме через все слои проходит одно и то же количество теплоты. Поэтому на основании уравнения (1-11) можно написать:
(г)
Из этих уравнений определяется температурный напор вкаждом слое:
(д)
Сумма этих температурных напоров составляет полный температурный напор. Складывая отдельно левые и правые части системы уравнении (д), имеем: (е) из этого уравнения определяем значение линейной плотности теплового потока qℓ: (1-16)
По аналогии с этим сразу можно написать расчетную формулу для n-слойной стенки
(1-17)
Значения неизвестных температур t2 и t3 поверхностей соприкосновения слоев определяются из системы уравнений (д):
(1-18)
Согласно уравнению (1-14), внутри каждого слоя температура изменяетсяпо логарифмическому закону, а для многослойной стенки в целом температурная кривая представляет собой ломануюкривую (рис. 1-12).
|