Кинематика

Механика. Основные понятия. Кинематика как раздел механики.

Характеристики движения материальной точки.

План лекции:

Механика. Основные понятия и определения.

2.1. Радиус – вектор, путь, перемещение.

Радиус – вектор – векторная физическая величина, определяющая положение точки в пространстве. Начало вектора совпадает с началом координат, конец совпадает с материальной точкой.

Рис.1.

Из рис.1 следует, что в декартовой системе координат радиус вектор можно разложить на составляющие:

(1.1)

Совокупность точек, которые «выписывает» конец радиус – вектора, называется траекторией движения. Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории (рис.2)

Рис.2.

 

Путь - длина траектории, пройденная телом с момента начала отсчета (, рис.2)

Перемещение – разность между радиус – векторами конечного и начального положения точки в некоторый момент времени ( рис.2).

Для характеристики быстроты изменения координат в физике вводится понятие скорости.

 

2.2. Движение материальной точки по плоской кривой. Тангенциальное и нормальное ускорение.

Средняя скорость – отношение пути, пройденного телом за промежуток времени к величине этого промежутка.

(1.2)

Для более точного определения скорости необходимо уменьшить промежуток времени, за которое рассматривается движения до такой степени, что участок траектории можно считать прямой (рис.2). Тогда можно заменить на , и среднюю скорость тела можно определить как:

(1.3)

при этом вектор указывает направление движения. Для определения скорости точки в данный момент времени, необходимо промежуток устремить к нулю. Полученный предел называется мгновенной скоростью (скоростью в данный момент времени, в данной точке траектории). Тогда мгновенная скорость:

(1.4)

Абсолютное значение скорости:

(1.5)

Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории (рис.3)

Рис.3.

 

Из рассмотрения рис.3 следует, что вектор скорости можно представить и таким образом:

(1.6)

где единичный вектор, направленный по касательной к траектории в данной точке.

Для характеристики быстроты изменения скорости водят понятие ускорения

Ускорение – векторная физическая величина, характеризующая быстроту и направление изменения скорости.

При изменении скорости на величину за промежуток времени среднее ускорение определяется как:

(1.7)

По аналогии с мгновенной скоростью, мгновенное ускорение определяется как:

Для определения ускорения, продифференцируем (1.6) по времени:

(1.8)

Определим абсолютное значение второго слагаемого в правой части (1.8):

(1.9)

Из подобия треугольников 0AB и CDE (рис.4)

Рис.4.

 

Из подобия треугольников 0AB и CDE (рис.4)

Поскольку , получим:

(1.10)

(1.11)

При сколь угодно малом , , тогда, подставив (1.11) в (1.8), и вводя единичный вектор направленный перпендикулярно , к центру 0:

(1.12)

 

где длина радиус – вектора, направленного из начала координат в данную точку, называемый радиусом кривизны траектории в данной точке. Точка 0 называется центром кривизны траектории.

Первое слагаемое в (1.12) называется тангенциальным ускорением и обозначается , второе слагаемое называется нормальным ускорением, и обозначается . Тогда, полное ускорение:

(1.13)

Введем определения:

Тангенциальное ускорение - направлено по касательной к траектории в данной точке и характеризует изменение модуля (длины) вектора скорости.

Нормальное ускорение – направлено к центру кривизны, перпендикулярно касательной к траектории в данной точке и характеризует изменение направления (рис.5).

Рис.5.