Математическая модель и уравнение регрессии

Пусть требуется построить математическую модель процесса, который характеризуется откликом . Предполагается, что существует функция отклика, связывающая выходной параметр с факторами :

, (1)

где – параметры модели.

Так как на отклик оказывают влияния некоторые случайные параметры, значение выходного параметра при фиксированных значениях факторов представляет собой случайную величину. В этом случае функция отклика будет давать не точное значение отклика, а его математическое ожидание (среднее). Поэтому точнее будет переписать уравнение (1) в следующем виде:

. (2)

По аналогии с функцией регрессии уравнение (2) называют уравнением регрессии.

Само по себе уравнение регрессии можно считать математической моделью, однако принято использовать более общий вид математической модели, содержащий кумулятивную ошибку (отклонение) , которая отражает влияние случайных факторов и может входить в нее аддитивно либо иным образом:

.

Для построения математической модели необходимо сделать предположение о ее истинном виде, иначе говоря, постулировать модель. На последующих стадиях будет проводиться проверка, так ли это на самом деле. Обычно предполагается, что модель имеет вид полинома, однако при наличии определенной информации о форме связи отклика с факторами может быть выбран иной, более реалистичный вид модели.

Математическая модель называется линейной, если она линейна относительно ее параметров, например:

,

.

В общем виде линейную модель можно записать следующим образом

. (3)

Нелинейные модели, то есть модели, нелинейные по оцениваемым параметрам, можно подразделить на два класса: внутренне линейные и внутренне нелинейные. Вот примеры нелинейных моделей:

, (4)

, (5)

, (6)

. (7)

Из приведенных примеров (6), (7) являются внутренне нелинейными моделями, а (4), (5) – внутренне линейными, так как с помощью преобразований их можно привести к линейному виду:

,

.