Метрическое описание и аналитическое продолжение

В 1915 году К. Шварцшильд выписал решения уравнений Эйнштейна без космологического члена для пустого пространства в сферически симметричном статическом случае^[8] (позднее Биркхоф показал, что предположение статичности излишне^[20]). Это решение оказалось пространством-временем с топологией и интервалом, приводимым к виду

где

t — временная координата, в секундах,

r — радиальная координата, в метрах,

θ — полярная угловая координата, в радианах,

φ — азимутальная угловая координата, в радианах,

— радиус Шварцшильда тела с массой M, в метрах.

Временная координата соответствует времениподобному вектору Киллинга , который отвечает за статичность пространства-времени, при этом её масштаб выбран так, что — это время, измеряемое бесконечно удалёнными покоящимися часами (). Часы, закреплённые на радиальной координате без вращения (), будут идти медленнее этих удалённых в раз за счёт гравитационного замедления времени.

Геометрический смысл r состоит в том, что площадь поверхности сферы есть Важно, что координата r принимает только значения, бо́льшие а значение параметра r, в отличие от лапласовского случая, не является «расстоянием до центра», так как центра как точки (события на действительной мировой линии какого-либо тела) в шварцшильдовском пространстве вообще нет.

Наконец, угловые координаты θ и φ соответствуют сферической симметрии задачи и связаны с её 3 векторами Киллинга.

Из основных принципов ОТО следует, что такую метрику создаст (снаружи от себя) любое сферически симметричное тело с радиусом и массой Замечательно, хотя и в некоторой степени случайно, что величина гравитационного радиуса — радиус Шварцшильда — совпадает с гравитационным радиусом вычисленным ранее Лапласом для тела массы

Как видно из приведённой формы метрики, коэффициенты при t и r ведут себя патологически при , где и располагается горизонт событий чёрной дыры Шварцшильда — в такой записи решения Шварцшильда там имеется координатная сингулярность. Эти патологии являются, однако, лишь эффектом выбора координат (подобно тому, как в сферической системе координат при θ = 0 любое значение φ описывает одну и ту же точку). Пространство Шварцшильда можно, как говорят, «продолжить за горизонт», и если там тоже считать пространство везде пустым, то при этом возникает бо́льшее пространство-время , которое называется обычно максимально продолженным пространством Шварцшильда или (реже) пространством Крускала.

Рис. 1. Сечение пространства Шварцшильда. Каждой точке на рисунке соответствует сфера площадью Радиальные светоподобные геодезические (то есть мировые линии фотонов) — это прямые под углом 45° к вертикали, иначе говоря — это прямые или

Чтобы покрыть это большее пространство единой координатной картой, можно ввести на нём, например, координаты Крускала — Шекерса. Интервал в этих координатах имеет вид

где а функция определяется (неявно) уравнением Пространство максимально, то есть его уже нельзя изометрически вложить в большее пространство-время (его нельзя «продолжить»). Исходное пространство является всего лишь частью при — область I на рисунке. Тело, движущееся медленнее света — мировая линия такого тела будет кривой с углом наклона к вертикали меньше 45°, см. кривую γ на рисунке — может покинуть При этом оно попадает в область II, где Покинуть эту область и вернуться к оно, как видно из рисунка, уже не сможет (для этого пришлось бы отклониться более, чем на 45° от вертикали, то есть превысить скорость света). Область II, таким образом, представляет собой чёрную дыру. Её граница (ломаная, ) соответственно является горизонтом событий.

Отметим несколько замечательных свойств максимально продолженного Шварцшильдовского пространства

1. Оно сингулярно: координата r наблюдателя, падающего под гоpизонт, уменьшается и стремится к нулю, когда его собственное время τ стремится к некоторому конечному значению Однако его мировую линию нельзя продолжить в область так как точек с в этом пространстве нет. Таким образом, судьба наблюдателя нам известна только до некоторого момента его (собственного) времени.
2. Пространство имеет две истинные гравитационные сингулярности: одну в «прошлом» для любого наблюдателя из областей I и III, и одну в «будущем» (обозначены серым на рисунке справа).
3. Хотя пространство статично (видно, что первая метрика этого раздела не зависит от времени , пространство таковым не является.
4. Область III тоже изометрична Таким образом, пространство Шварцшильда содержит две «вселенные» — «нашу» (это ) и ещё одну такую же. Область II внутри чёрной дыры, соединяющая их, называется мостом Эйнштейна — Розена. Попасть во вторую вселенную наблюдатель, стартовавший из I и движущийся медленнее света, не сможет (см. рис. 1), однако в промежуток времени между пересечением горизонта и попаданием на сингулярность он сможет увидеть её. Такая структура пространства-времени, которая сохраняется и даже усложняется при рассмотрении более сложных чёрных дыр, породила многочисленные спекуляции на тему возможных параллельных вселенных и путешествий в них через чёрные дыры как в научной литературе, так и в научно-фантастической (см. Кротовые норы).

Рис. 2. Сечения пространства Шварцшильда в разные моменты времени (одно измерение опущено).

Чтобы представить себе структуру 4-мерного пространства-времени его удобно условно рассматривать как эволюцию 3-мерного пространства. Для этого можно ввести «временнýю» координату и сечения (это пространственно-подобные поверхности, или «поверхности одновременности») воспринимать как «в данный момент времени». На рис. 2 показаны такие сечения для разных моментов T. Мы видим, что вначале имеются два несвязанных 3-мерных пространства. Каждое из них сферически симметрично и асимптотически плоско. Точка отсутствует и при кривизна неограниченно растёт (сингулярность). В момент времени обе сингулярности исчезают и между ранее не связанными пространствами возникает «перемычка» (в современной терминологии кротовая нора). Радиус её горловины возрастает до при затем начинает уменьшаться и при перемычка снова разрывается, оставляя два пространства несвязанными