Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.





При вычислении двойного интеграла разбиение области D удобно проводить прямыми x=const; y=const, тогда очевидно, что и

@

 

Пусть функция z=f(x;y) определена и непрерывна в некоторой области . Предположим, что . Тогда

@

Рассмотрим область D специального вида:

Поставим задачу нахождения объёма цилиндроида с основанием и верхней границей z=(x;y)

Vцил. =

Возьмем произвольное , и проведем через него плоскость // ZoY. Получаем S(x) – площадь поперечного сечения. Очевидно, что

Vцил. = , но S(x) =

Из последних формул имеем:@

или @

или в более удобном виде:

Вывод: Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух обыкновенных определенных интегралов (повторное интегрирование).

Вычисление повторного интеграла:

1. Вначале вычисляют внутренний интеграл. В этом интеграле переменной считают величину y, а x – фиксированной величиной. Пределы интегрирования во внутреннем интеграле зависят от x, т.е. от переменной интегрирования во внешнем интеграле. Результат вычисления во внутреннем интеграле есть функция от x.

Затем вычисляют внешний интеграл от полученной функции по переменной x. Пределы интегрирования во внешнем интеграле всегда постоянные величины, т.к. это наибольшее и наименьшее значения переменной x в области D.

Замечания:

1. Пусть область имеет другой специальный вид:

Аналогично: = = = (2)

В этом случае во внутреннем интеграле переменная интегрирования – x, а y – величина фиксированная. Результат внутреннего интегрирования – функция от y, а в результате внешнего интегрирования её по y получим некоторое постоянное число; “c” и“d” – числа – наименьшее и наибольшее значение y на .

2. Формулы (1) и (2) выведены в предположении, что область имеет специальный вид, но это не является существенным ограничением. Если контур области более сложный, то она разбивается на конечное число частей, удовлетворяющих предположениям, при которых получены формулы (1) и (2). Далее, применяя свойство 4, получим двойной интеграл по всей области D.

3. Пусть область некоторый прямоугольник. (Для тестов!)

Если область Dпрямоугольник, то пределы внутреннего и внешнего интегрированияконстанты (обратное справедливо). И если при этом функция разделяющаяся, т.е. ,то

Пример 1:Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

 

Пример 2: D: x=2, y=x, xy=1.

 







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 764. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Приложение Г: Особенности заполнение справки формы ву-45   После выполнения полного опробования тормозов, а так же после сокращенного, если предварительно на станции было произведено полное опробование тормозов состава от стационарной установки с автоматической регистрацией параметров или без...

Измерение следующих дефектов: ползун, выщербина, неравномерный прокат, равномерный прокат, кольцевая выработка, откол обода колеса, тонкий гребень, протёртость средней части оси Величину проката определяют с помощью вертикального движка 2 сухаря 3 шаблона 1 по кругу катания...

Неисправности автосцепки, с которыми запрещается постановка вагонов в поезд. Причины саморасцепов ЗАПРЕЩАЕТСЯ: постановка в поезда и следование в них вагонов, у которых автосцепное устройство имеет хотя бы одну из следующих неисправностей: - трещину в корпусе автосцепки, излом деталей механизма...

Мотивационная сфера личности, ее структура. Потребности и мотивы. Потребности и мотивы, их роль в организации деятельности...

Классификация ИС по признаку структурированности задач Так как основное назначение ИС – автоматизировать информационные процессы для решения определенных задач, то одна из основных классификаций – это классификация ИС по степени структурированности задач...

Внешняя политика России 1894- 1917 гг. Внешнюю политику Николая II и первый период его царствования определяли, по меньшей мере три важных фактора...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия