Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.





При вычислении двойного интеграла разбиение области D удобно проводить прямыми x=const; y=const, тогда очевидно, что и

@

 

Пусть функция z=f(x;y) определена и непрерывна в некоторой области . Предположим, что . Тогда

@

Рассмотрим область D специального вида:

Поставим задачу нахождения объёма цилиндроида с основанием и верхней границей z=(x;y)

Vцил. =

Возьмем произвольное , и проведем через него плоскость // ZoY. Получаем S(x) – площадь поперечного сечения. Очевидно, что

Vцил. = , но S(x) =

Из последних формул имеем:@

или @

или в более удобном виде:

Вывод: Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух обыкновенных определенных интегралов (повторное интегрирование).

Вычисление повторного интеграла:

1. Вначале вычисляют внутренний интеграл. В этом интеграле переменной считают величину y, а x – фиксированной величиной. Пределы интегрирования во внутреннем интеграле зависят от x, т.е. от переменной интегрирования во внешнем интеграле. Результат вычисления во внутреннем интеграле есть функция от x.

Затем вычисляют внешний интеграл от полученной функции по переменной x. Пределы интегрирования во внешнем интеграле всегда постоянные величины, т.к. это наибольшее и наименьшее значения переменной x в области D.

Замечания:

1. Пусть область имеет другой специальный вид:

Аналогично: = = = (2)

В этом случае во внутреннем интеграле переменная интегрирования – x, а y – величина фиксированная. Результат внутреннего интегрирования – функция от y, а в результате внешнего интегрирования её по y получим некоторое постоянное число; “c” и“d” – числа – наименьшее и наибольшее значение y на .

2. Формулы (1) и (2) выведены в предположении, что область имеет специальный вид, но это не является существенным ограничением. Если контур области более сложный, то она разбивается на конечное число частей, удовлетворяющих предположениям, при которых получены формулы (1) и (2). Далее, применяя свойство 4, получим двойной интеграл по всей области D.

3. Пусть область некоторый прямоугольник. (Для тестов!)

Если область Dпрямоугольник, то пределы внутреннего и внешнего интегрированияконстанты (обратное справедливо). И если при этом функция разделяющаяся, т.е. ,то

Пример 1:Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

 

Пример 2: D: x=2, y=x, xy=1.

 







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 764. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Плейотропное действие генов. Примеры. Плейотропное действие генов - это зависимость нескольких признаков от одного гена, то есть множественное действие одного гена...

Методика обучения письму и письменной речи на иностранном языке в средней школе. Различают письмо и письменную речь. Письмо – объект овладения графической и орфографической системами иностранного языка для фиксации языкового и речевого материала...

Типовые ситуационные задачи. Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт. ст. Влияние психоэмоциональных факторов отсутствует. Колебаний АД практически нет. Головной боли нет. Нормализовать...

Эндоскопическая диагностика язвенной болезни желудка, гастрита, опухоли Хронический гастрит - понятие клинико-анатомическое, характеризующееся определенными патоморфологическими изменениями слизистой оболочки желудка - неспецифическим воспалительным процессом...

Признаки классификации безопасности Можно выделить следующие признаки классификации безопасности. 1. По признаку масштабности принято различать следующие относительно самостоятельные геополитические уровни и виды безопасности. 1.1. Международная безопасность (глобальная и...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия