Задача, приводящая к понятию двойного интеграла.

P.S. Уважаемые соискатели, проверяйте Вашу анкету перед отправкой, пожалуйста! Внимательно проверяйте грамматические и пунктуационные ошибки, оформление, корректность предоставленных данных. 

Глава 14. Двойной интеграл

Предварительные замечания.

Def: Кривая называется простой, если её можно разбить на конечное число частей так, чтобы каждая из частей была записана уравнением, либо , либо .

Теорема: Если замкнутая область D на плоскости XOY ограничена простой кривой, то она имеет площадь.

Разобьём область D сетью простых линий на n – частей. Каждая часть Dk будет иметь площадь (т.к. по теореме она ограничена простой кривой).

Def: Диаметр области Dk – наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими области Dk (обозначим dk).

Задача, приводящая к понятию двойного интеграла.

Пусть функция - функция двух переменных, , где - это некоторая замкнутая область D, ограниченная простой кривой Г.

Def: Тело, ограниченное плоскостью XOY, поверхностью и с боков цилиндрической поверхностью, образующая которой // оси OZ, а направляющей служит контур Г, ограничивающий область D, называется цилиндроидом.

Для вычисления объёма данного цилиндроида выполним следующие операции:

1. Обозначим площади областей Dk, через@ Диаметры областей Dk, через -@ 2. Построим на простых кривых разбиения области D цилиндроиды, тогда @, где Vk – объём цилиндроида с основанием Dk.

3. Для нахождения Vk выберем в области Dk произвольную точку , тогда,@ т.к. верхняя граница цилиндроида – поверхность произвольной формы, заменена участком плоскости параллельным xOy

@

4.