Свободные электромагнитные колебания

Свободными (собственными) электромагнитными ко­лебаниями называют такие, которые совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.

Рассмотрим колебательный контур, со­стоящий из резистора R, катушки индуктивности L и конденсатора С (рис. 14.1); сопротивлением проводов и возможным излучением электромагнитных волн пренебрегаем. Конденсатор ключом К заряжается от источ-

ника, а затем разряжается на резистор и катушку индуктивности. Приэтом в контуре возникает ЭДС самоиндукции (ко­торая, согласно закону Ома, будет равна сумме напряжений на эле­ментах цепи: на резисторе U_R = IR и конденсаторе U_c = q/c Поэтомуnзапишем

Преобразуем это уравнение, поделив все члены на L

 

Это есть дифференциальное уравнение свободных электромаг­нитных колебаний. Произведя замены:

получим уравнение

Незатухающие колебания. Если контур не содержит резис­тора (рис. 14.2), то из (14.4) имеем:

Известно, что (14.5) является дифференциальным уравнением гармонического колебания, его решение [см. (5.8)] имеет вид

где q_m — наибольший (начальный) заряд на обкладках конденса­тора, ω₀ — круговая частота собственных колебаний (собст­венная круговая частота) контура, φ₀ — начальная фаза.

Графики зависимости заряда (напряжения) от времени анало­гичны графику зависимости смещения x(t), а график зависимости силы тока от времени — графику скорости v (t) (см. рис. 5.4).

Из (14.3) найдем выражение для периода собственных колеба­ний (формула Томсона):

Затухающие колебания. При наличии резистора (рис. 14.1) процесс в контуре описывается уравнением (14.4), которое анало­гично уравнению (5.19) для механических колебаний. При усло­вии, что затухание не слишком велико, находим следующее решение [см.
(5.20)]:

Неравенство (14.12) выполняется, в частности, в контуре при отсутствии индуктивности (L → 0). Для этого случая (разряд кон­денсатора на резистор) из (14.1) имеем

Интегрируя последнее уравнение, находим

 

 

Потенцируя второе из выражений (14.14), имеем

 

 

Уравнение (14.15) описывает процесс разрядки конденсатора С на резистор R. При отсутствии индуктивности колебания не воз­никают (рис. 14.3, а). По такому закону изменяется и напряже­ние на обкладках конденсатора. Теоретически такой процесс, как это следует из (14.15), протекает бесконечно долго, однако приня­то длительность подобных процессов оценивать временем, в тече­ние которого параметр, характеризующий процесс (в данном слу­чае заряд и напряжение), уменьшится в е раз (постоянная вре­мени, τ).

Выражение для постоянной времени можно получить из (14.15),

если вместо q подставить q_m/e, a t заменить на τ: откуда для контура с конденсатором и резистором постоянная времени равна

 

Можно показать, что зарядка конденсатора от источника по­стоянной ЭДС также происходит по экспоненциальному закону

График этой зависимости представлен на рис. 14.3,6.