Полное сопротивление в цепи переменного тока. Резонанс напряжений

Представим цепь, в которой последовательно соединены резис­тор, катушка индуктивности и конденсатор (рис. 14.7, а). Напря­жение на зажимах а, b цепи, создаваемое внешним источником, выражается зависимостью (14.18). Как было показано в § 14.2, в общем случае сила тока в цепи и напряжение изменяются не в од­ной фазе, поэтому

где φ — разность фаз напряжения и силы тока.

Сумма напряжений на отдельных участках равна внешнему напряжению:

 

В соответствии с изложенным в § 14.2, напряжения U_R, U_L и V_r, можно записать так:

(в фазе с током);

(опережает силу тока по фазе на π/2);

(отстает от силы тока по фазе на л/2).

Подставив (14.36)—(14.38) в (14.35), после тригонометрических преобразований можно получить выражение для полного сопротив­ления цепи переменного тока и разности фаз φ. Однако более просто и наглядно удается это сделать с помощью векторных диаграмм.

На рис. 14.7, б по оси токов направлен вектор амплитуды силы тока 1_т. Так как по всей цепи амплитуда силы тока одинакова, то амплитуды напряжений на участках отложим относительно этого вектора: вектор U_Rm — в одной фазе с силой тока; вектор U_Lm — с опережением силы тока по фазе на π/2, вектор U_Cm — с отставани­ем от силы тока по фазе на π/2. Суммируя три вектора, находим графически значения U_m и φ. Используя теорему Пифагора, имеем

 

Подставляя в (14.39) выражения этих амплитуд из (14.21), (14.27) и (14.32) и учитывая закон Ома, находим

где Z — полное сопротивление цепи переменного тока, назы­ваемое импедансом. Из (14.40) получаем

Омическое сопротивление R цепи называют также активным, оно обусловливает выделение теплоты в цепи в соответствии с за­коном Джоуля—Ленца. Разность индуктивного и емкостного со­противлений (X_L - Х_с) называют реактивным сопротивлени­ем. Оно не вызывает нагревания элементов электрической цепи.

Запишем закон Ома применительно к амплитудам напряже­ния и силы тока в цепи (рис. 14.7):

 

Из рис. 14.8 выразим также и значение ф через известные ве­личины:

Если индуктивное и емкостное сопротивления цепи при их по­следовательном соединении одинаковы (X_L = Х_с), то [см. (14.41)] Z = R, и из (14.43) имеем tg φ = 0 и φ = 0. Это означает, что сила тока и приложенное напряжение изменяются в одной фазе так, как будто в цепи имеется только омическое сопротивление; на­пряжения на индуктивности и емкости одинаковы по амплитуде, но противоположны по фазе.

Этот случай вынужденных электрических колебаний называ­ют резонансом напряжения.

Так как U_Lm = U_Cm, то Lω_pe3 = 1/(Сω_рез). Отсюда находим резо­нансную частоту:

При этом условии полное сопротивление Z цепи имеет на­именьшее значение, равное R, а сила тока достигает наибольшего значения. Векторная диаграмма для резонанса напряжений в це­пи показана на рис. 14.8.

Если Lω > 1/(Сω), то tg φ > 0 и φ > 0, сила тока отстает по фазе от приложенного напряжения (см. рис. 14.7, б). При Lω < l/(Cω) имеем tg φ < 0 и φ < 0. Сила тока опережает по фазе напряжение. Векторная диаграмма для этого случая дана на рис. 14.9.