Просканированный символ

Но даже такая простая машина, описанная в примере выше, могла выполнять не только суммирование. Такая машина могла производить действие распознавания, например, «найти первый символ справа». Машина с более сложной программой могла производить умножение, повторяя действие копирования одной группы единиц, при этом стирая по одной единице из другой группы, и распознавая, когда необходимо прекратить производить данные действия. Такая машина также производить действие принятия решений, например, она могла решить, является ли число простым или составным, делится ли оно на другое заданное число без остатка. Совершенно очевидно, что этот принцип мог быть использован самыми различными способами, чтобы представить вычисления в механистическом виде. Оставался неясным только один вопрос: могла ли подобная машина решить третью проблему Гильберта?

Проблема казалась слишком сложной, чтобы попытаться решить ее, записав таблицу определенных действий для ее решения. И все же существовал один метод, который позволял довольно изворотливо подойти к решению вопроса. Тогда Алан стал думать о «вычислимых числах». Основная идея заключалась в том, что любое «действительное число» могло быть вычислено одной из его машин. К примеру, можно было создать машину, чтобы вычислить разложение на десятичные дроби числа π. Для этого потребовалось лишь записать ряд действий по сложению, умножению, копированию, и так далее. В случае бесконечного десятичного ряда, машина продолжала бы непрерывно работать и потребовалось бы неограниченное количество ячеек на ее ленте. Однако устройство могло высчитывать каждый десятичный разряд за определенное количество времени, при этом используя определенную длину рабочей ленты. А вся информация о процессе могла быть записана в таблицу переходов с определенным количеством записанных конфигураций.

Таким образом, он нашел способ представить такое число, как π, с бесконечным десятичным разложением в виде таблицы с конечным числом действий. То же самое можно было проделать и с квадратным корнем из трех, или с натуральным логарифмом семи, или с любым другим числом, вычисляемым по некоторому правилу. Подобные числа он назвал «вычислимыми числами».

Точнее говоря, сама машина не обладала бы никакими знаниями о десятичных числах или десятичных разрядах. Она могла лишь производить последовательность цифр. Последовательность, которая могла быть произведена одной из его машин, Алан назвал «вычислимой последовательностью». Тогда вычислимая бесконечная последовательность, перед которой стояла десятичная запятая, могла определить «вычислимое число» между 0 и 1. Это означало, что любое вычислимое число между 0 и 1 могло быть определено в виде таблицы с конечным числом действий. Для Алана оставалось важным, чтобы вычислимые числа всегда были представлены в виде бесконечной последовательности цифр, даже если все цифры после определенного момента были нулями.

Теперь все эти таблицы с конечным числом действий можно было расположить в некотором роде по алфавитному порядку, начиная с самой простой и заканчивая наиболее большой и сложной. Их можно было представить в виде списка или посчитать; и это означало, что все вычислимые числа также можно было представить в виде списка. Разумеется, выполнить на практике подобное было достаточно сложно, но идея была довольно ясной: квадратный корень из трех в таком случае будет значиться 678-м в списке, а логарифм числа π — 9369-м. Такая мысль казалась потрясающей, поскольку в такой список могло войти любое число, полученное в результате выполнения арифметических действий, например, вычисления корня уравнения, или используя математические функции, например, синусы и логарифмы, — любое число, которое могло возникнуть в сфере вычислительной математики. И в тот самый момент, когда он пришел к этой мысли, он узнал ответ на третий вопрос Гильберта. Возможно, именно это он неожиданно понял, остановившись отдохнуть на лугу в Гранчестере. И полученному ответу он был обязан прекрасному математическому устройству, которое все это время ожидало своего часа.

Всего полвека назад, кантор пришел к мысли, что можно поместить все дроби — все рациональные числа — в единый список. Наивно было полагать, что дробей существовало больше, чем целых чисел. Но Кантор смог доказать, что в узком смысле это предположение было неверным, поскольку все они могли быть подсчитаны и помещены в список с алфавитным порядком. Не принимая во внимание дроби с сокращающимся множителем, список всех рациональных чисел между 0 и 1 начинался бы следующим образом:

1/2 1/3 1/4 2/3 1/5 1/6 2/5 3/4 1/7 3/5 1/8 2/7 4/5 1/9 3/7 1/10…

Но Кантор не остановился на достигнутом и изобрел особый математический трюк, который получил название «диагональный метод Кантора» и мог быть использован в качестве доказательства существования иррациональных чисел. Для этого рациональные числа представлялись в виде бесконечных разложений десятичной дроби, и соответственно список всех подобных чисел между 0 и 1 начинался бы следующим образом:

5000000000000000000.…

3333333333333333333.…

2500000000000000000.…

6666666666666666666.…

2000000000000000000.…

1666666666666666666.…

4000000000000000000.…

7500000000000000000.…

1428571428571428571.…

6000000000000000000.…

1250000000000000000.…

2857142857142857142.…

8000000000000000000.…

1111111111111111111.…

4285714285714285714.…

1000000000000000000.…

……

……

Суть математической уловки Кантора состояла в том, чтобы рассмотреть диагональное число, начинающееся

5306060020040180.…

а затем изменить каждую его цифру, например прибавив к каждой по единице, за исключением изменения 9 на 0. В таком случае бесконечный десятичный ряд будет начинаться следующим образом:

6417171131151291.…

Это число не могло быть рациональным, поскольку оно отличалось от первого в списке рационального числа в первом десятичном разряде, от 964-го рационального числа в 964-м десятичном разряде, и так далее. Таким образом, число не могло входить в список. А поскольку список содержал все рациональные числа, диагональное число не могло быть рациональным.

 

Такое наблюдение о существовании иррациональных числах не было новым — об этом было известно еще Пифагору. Суть диагонального метода заключалась в другом. С его помощью Кантор хотел показать, что ни один список не мог включать все «действительные числа», то есть, все числа с бесконечным десятичным рядом, поскольку любой предложенный список определял другое число с бесконечным десятичным рядом, которое бы не учитывалось. Метод Кантора доказал, что в более узком смысле существует больше действительных чисел, чем целых чисел. В результате появилась особая теория бесконечных рядов.

Однако важным для задачи Алана Тьюринга явилось то, что этот метод показал, как рациональное число могло в результате привести к иррациональному числу. Следовательно, точно таким же образом вычислимые числа могли привести к невычислимым числам при помощи диагонального метода Кантора. И как только он пришел к этой мысли, Алан понял, что ответ на вопрос Гильберта на самом деле был отрицательным. Не существовало никакого определенного метода для решения всех математических проблем. Поскольку само существование невычислимого числа могло служить примером одной из неразрешаемых проблем.

 

Но чтобы представить ясный результат работы, оставалось еще многое сделать. С одной стороны, в его доводах было нечто парадоксальное. Сама уловка Кантора казалась тем самым «определенным методом». Диагональное число имело достаточно четкое и ясное описание, так почему его нельзя было вычислить? И как могло нечто, полученное в результате механистических действий, быть невычислимым? И что бы пошло не так при попытке вычислить его?

Предположим, некто попытался создать «машину Кантора», чтобы произвести подобное диагональное невычислимое число. В общих чертах работа устройства начиналась бы с пустой ленты и записи единицы в пустой ячейке. Затем оно бы произвело первую таблицу, выполнило ее, остановившись на первой записанной цифре и прибавив к ней единицу. После этого считывающее устройство снова начало работу с числом 2, произвело вторую таблицу и выполнило ее до второй записанной цифры, записало результат, добавив единицу. Эти действия выполнялись бы непрерывно и, когда устройство считало бы число 1000, машина произвела бы тысячную таблицу, выполнила ее до тысячной цифры в последовательности, прибавила единицу и записала результат.

Одна часть этого процесса, разумеется, могла быть выполнена при помощи одной из его машин, поскольку процесс «поиска отметки» в заданной таблице и распознавания, какие действия должна выполнить соответствующая машина, сами по себе являлись «механистическим процессом». Машина могла произвести подобные действия. Трудность состояла в том, что таблицы изначально были задуманы в двухмерной форме, но это было лишь технической задачей представить их в том виде, который мог быть помещен на рабочую ленту. На самом деле они могли быть представлены в виде целых чисел почти тем же образом, как Гедель представил формулы и доказательства в виде целых чисел. Алан назвал их «дескриптивными» (описательными) числами, таким образом для каждой таблицы существовало свое дескриптивное число. По сути, это было лишь технической особенностью, средством для записи таблиц на рабочую ленту и их систематизации в «алфавитном порядке». Но за этим скрывалась та же самая блестящая идея, которую уже использовал Гедель, которая состояла в том, что между «числами» и производимыми с ними операциями не было никакого существенного различия. С точки зрения современной математики, все они представляли собой лишь символы.

Из этого следовало, что одна машина могла воспроизводить действия, выполняемые любой другой машиной. Такое устройство Алан назвал универсальной машиной. Она должна была считывать дескриптивные числа, зашифровывать их в таблицы, а затем производить действия этих таблиц. Универсальная машина могла выполнять любые действия, которые производила любая другая таблица, если для этой машины было указано дескриптивное число на рабочей ленте. Такая машина могла выполнять любые действия, и этого было достаточно, чтобы на время крепко задуматься. Более того, такая машина имела совершенно определенный вид, и Алан разработал соответствующую таблицу для универсальной машины.

Механизация Канторова процесса не представляла особой сложности. Трудность состояла в другом необходимом условии, а именно — в создании таблиц в их «алфавитном порядке» для вычислимых чисел. Предположим, что таблицы зашифрованы в виде дескриптивных чисел. На деле они не могли использовать все целые числа. В действительности разработанная Аланом система зашифровывала бы даже самые простые таблицы в виде громаднейших чисел. Но это не имело бы никакого значения. Существенным образом это оставалось вопросом механистического характера, чтобы по очереди обрабатывать целые числа и пропускать те, что не соответствовали указанной таблице. Действительно серьезная проблема представлялась не такой очевидной. Вопрос был следующим: в случае с предоставленной (скажем) 4589-ой и должным образом описанной таблицей, как можно было с уверенностью сказать, что в ходе ее выполнения получится 4589-ая по счету цифра? Или то, что она произведет вообще какие-нибудь цифры? Ведь устройство могло двигаться вперед и назад в непрерывно повторяющемся цикле операций, не производя ни единой новой цифры. В таком случае машина Кантора застрянет на одном действии и никогда не сможет завершить свою работу.

Ответ оставался неизвестным. Не существовало ни единого способа проверить заранее, что таблица сможет произвести бесконечную последовательность цифр. Мог существовать способ для одной определенной таблицы, но не для всех. Ни один механистический процесс и ни одна машина не могли работать над всеми таблицами переходов. Лучшим советом в такой ситуации оставалось: возьми таблицу и попробуйте ее выполнить. Но при таком подходе требовалось неограниченный запас времени, чтобы выяснить, произведет ли таблица бесконечную последовательность цифр. Ни одно правило не могло быть применено к любой таблице с той гарантией, что она предоставит ответ за конечный промежуток времени, что и требовалось для записи диагонального числа. Поэтому процесс Кантора не мог быть механизирован, а невычислимое диагональное число соответственно не могло быть вычислено. Таким образом, идея избавилась от своего внутреннего противоречия.

Дескриптивные числа, которые производили числа с бесконечным десятичным рядом, Алан назвал «удовлетворительными числами». Так он показал, что не существует особого способа определить «неудовлетворительное число». Ему удалось точно установить пример того, в существовании чего Гильберт сомневался — неразрешимой проблемы.

Были и другие способы продемонстрировать, что ни один «механистический процесс» не мог исключить неудовлетворительные числа. Самым эффектным сам Алан считал тот способ, который ставил вопрос с самоссылкой. Поскольку, если такая машина для проверки и существовала, способная определить нахождение неудовлетворительных чисел, она могла быть применена по отношению к самой себе. Но в таком случае, как он доказал, это привело бы к внутреннему противоречию. Поэтому такой машины быть не может.

Так или иначе ему удалось обнаружить неразрешимую проблему и теперь требовалось решить лишь технические вопросы, чтобы доказать, что решение вопроса Гильберта соответствовало той форме, в которой он был изложен. Можно было сказать, что программа Гильберта получила смертельный удар в лице юного Алана Тьюринга. Ему удалось доказать, что математика никогда не будет исчерпана никаким конечным множеством операций. Он коснулся проблемы в самом ее сердце и решил ее при помощи одного простого, но не лишенного особого изящества наблюдения.

Однако это была не просто математическая уловка или его логическая изобретательность. В ходе решения проблемы он сумел создать нечто новое — саму идею своих машин. И следовательно, оставался один вопрос: действительно ли включало его описание такой машины то, что могло считаться «определенным методом»? Достаточно ли было такого набора действий: считывания и записи информации, перемещения и остановки считывающего устройства? Было крайне важно, чтобы это в действительности было так, поскольку в обратном случае всегда будет таиться подозрение, что некоторое расширение функций устройства позволило бы ему решить больший ряд проблем. Чтобы ответить на эти вопросы, Алану пришлось продемонстрировать способность его машин вычислять любое математическое число. Он также показал, что его машина могла обладать программой производства каждого доказуемого утверждения в рамках представления Гильберта о математике. Также он предоставил работу с всесторонним изучением вопроса, которая по праву считалась одной из наиболее захватывающих математических исследований, в котором он смог объяснить определение на примере того, какой процесс происходит в сознании человека, когда производит вычисление, записывая его на бумаге:

 

Вычисление обычно выполняется путем записи определенных символов на бумаге. Предположим, что лист бумаги поделен на квадраты, в точности как в тетради в клетку. В элементарной арифметике порой используется двумерность бумаги. Но этого можно избежать; также я считаю, что многие согласятся с отсутствием в том необходимости для производимых вычислений. Поэтому смею предположить, что вычисление может быть выполнено на одномерном листе бумаги, то есть на ленте, разделенной на квадраты. Также предположу, что количество возможных напечатанных символов конечно. Если мы допустим, что число символов может быть бесконечным, тогда появилась бы возможность существования символов, различных в произвольно небольшой степени.

 

«Бесконечное число символов» не соответствовало ничему в реальности. Есть немало оснований возразить тому, что существует бесконечное число символов, поскольку такая арабская цифра, как 17 или 999999999999999 обычно рассматривается в качестве одного символа. Подобным образом в любом европейском языке слова рассматриваются как отдельные символы (хотя китайский язык, например, стремится обладать счетным бесконечным множеством символов).

Но ему удалось избавиться от этого возражения при помощи своего наблюдения, что различия, с нашей точки зрения, между простыми и составными символами заключаются в том, что составные символы, если они слишком длинные, не могут быть оценены при одном взгляде на них. Это жизненный факт. Мы не можем с первого взгляда определить являются ли 9999999999999999 и 9999999999999999 одним числом.

Таким образом, он считал себя вправе ограничить функции машины заданным набором действий. Дальше он выразил наиболее важную идею для своего исследования:

Действия компьютера в любой момент времени строго определены символами, которые он считывает, также как и его «состояние» в текущий момент. Мы можем предположить, сто существует некоторый предел B для числа символов или ячеек, которые компьютер может считывать за одну единицу времени. Чтобы считать следующие символы, ему придется сделать шаг к следующей ячейке. Также предположим, что число подобных состояний, которые должны быть приняты во внимание, также конечно. Причины тому по своей природе схожи с теми, что возникают при ограничении количества символов. Если мы допустим бесконечное число состояний, некоторые из них будут «в некоторой степени похожими» и вследствие этого могут быть перепутаны. Следует еще раз подчеркнуть, что подобное ограничение не оказывает серьезного влияния на производимое вычисление, поскольку использования более сложных состояний можно попросту избежать, записав больше символов на рабочую ленту.

Слово «компьютер» здесь использовалось в своем значении, относящемся к 1936 году: лицо, выполняющее вычисления. В другом месте своей работы он обратился к идее, что «человеческая память неизбежно является ограниченным ресурсом», но эту мысль он выразил в ходе своего размышления о природе человеческого разума. Его предположение, на котором основывались его доводы, о том, что состояния были исчислимы, было довольно смелым предположением. Особенно примечательно это было тем, что в квантовой механике физические состояния могли быть «в некоторой степени похожими». Далее он продолжил рассуждать о природе вычислений:

 

Представим, что производимые компьютером операции разложены на «простые операции», настолько элементарные, что невозможно представить дальнейшего их разложения на еще более простые операции. Каждая такая операция несет в себе некоторое изменение в физической системе, которую представляют собой компьютер и его лента. Нам известно состояние системы при условии, что мы знаем последовательность символов на рабочей ленте, которую считывает компьютер (возможно, в особом установленном порядке), а также состояние компьютера. Мы можем предположить, что в ходе простой операции не может быть изменено больше одного символа. Любые другие изменения могут быть разложены на более простые изменения подобного вида. Ситуация относительно ячеек с изменяемыми таким образом символами точно такая же, как и в случае со считанными ячейками. Таким образом, мы можем без ограничения общности предположить, что ячейки с измененными символами равнозначны считанным ячейкам.

Помимо подобных изменений символов простые операции должны включать в себя изменения распределения считанных ячеек. Новые считываемые ячейки должны в тот же момент распознаваться компьютером. Думаю, что разумно будет предположить, что такими могут быть лишь те ячейки, расстояние которых от наиболее близко расположенной к только что мгновенно считанной ячейке не превышает определенное установленное число ячеек. Также предположим, что каждая из новых считанных ячеек находится в пределах L — ячеек последней считанной ячейки.

В связи с «немедленным распознаванием», можно полагать, что существуют другие виды ячеек, которые так же немедленно распознаются компьютером. В частности, отмеченные специальными символами ячейки могут считаться немедленно распознаваемыми компьютером. Теперь, если такие ячейки отмечены одинарными символами, их может быть только конечно количество, и мы не должны разрушать нашу теорию, добавляя отмеченные ячейки к тем, что были считаны. С другой стороны, если они отмечены последовательностью символов, мы не можем рассматривать процесс распознавания в качестве простой операции. Этот ключевой момент следует рассмотреть подробнее на примере. Как известно, в большинстве математических работ уравнения и теоремы нумеруются. Обычно нумерация не выходит за пределы (скажем) 1000. Таким образом, становится возможным распознать теорему, лишь взглянув на ее порядковый номер. Но в случае особенно большой работы мы можем столкнуться с теоремой под номером 157767733443477. В таком случае, далее в тексте работы мы можем встретить следующую фразу: «… отсюда (применяя теорему 157767734443477) мы имеем…». И чтобы понять, какая теорема имеется в виду, нам придется сравнить каждую цифру этих двух чисел, возможно даже вычеркивая цифры карандашом, чтобы случайно не посчитать их дважды. И если несмотря на это по-прежнему можно предположить, что существуют другие «немедленно распознаваемые» ячейки, это не опровергает мое утверждение при условии, что ячейки могут быть обнаружены в ходе некоторого процесса, производимый машиной моего типа…

Таким образом, простые операции должны включать:

(a) Изменения символа одной из считанных ячеек

(b) Изменения одной из считанных ячеек на другую ячейку в пределах L-ячеек одной из ранее считанных ячеек.

Может случиться так, что некоторые из этих ячеек повлекут за собой изменение состояния. Таким образом, наиболее простая единичная операция должна быть принята из следующих:

(A) Возможное изменение (a) символа вместе с возможным изменением состояния;

(B) Возможное изменение (b) считанных ячеек вместе с возможным изменением состояния.

Произведенная в таком случае операция определена, как было предположено (выше), состоянием компьютера и считанными символами. В частности, они определяют состояние компьютера после выполнения операции.

 

«Теперь мы можем сконструировать машину, — писал далее Алан, — чтобы выполнить работу этого компьютера». Смысл его рассуждений был очевиден: каждое состояние вычислителя представлялось в виде конфигурации соответствующей машины.

Поскольку эти состояния казались слабым местом в его рассуждениях, он привел альтернативное подтверждение своей идеи, что его машины могли произвести любой «определенный метод», который в них не нуждался:

Мы (все еще) предполагаем, что вычисление производится на рабочей ленте; но при этом не станем вводить «состояние», рассматривая его физический и более определенный аналог. Вычислитель всегда может прервать свою работу, уйти и забыть о ней, а позже вернуться и снова приняться за нее. В таком случае он должен оставить примечания или инструкции (записанные в привычной форме), поясняющие, как следует продолжить начатую работу. Такое примечание и является аналогом состояния. Предположим, что вычислитель работает несистематически и не производит больше одного шага за один эпизод своей работы. Тогда примечания должны разъяснять, какой шаг он должен выполнить, после чего он должен оставить примечание для следующего шага. Таким образом, состояние прогресса производимого вычисления на любом этапе будет полностью определен примечанием и символами на рабочей ленте…

 

Эти доказательства разительно отличались друг от друга. На самом деле, они были взаимодополняющими. В первом случае рассматривалось разнообразие мыслей одного человека — число состояний его разума. Во втором же человек рассматривался как бездумный исполнитель предписанных указаний. В обоих случаях мысль Алана касалась противоречия свободы воли и детерминизма, только в одном с точки зрения внутренней воли, а в другом — внешних ограничений. Эти подходы к решению проблемы не имели дальнейшего разъяснения в статье, но послужили хорошей почвой для дальнейших исследований.

 

Невероятным импульсом для исследования Алана послужила проблема разрешимости, или Entscheidungs problem, поставленной перед учеными-математиками Гильбертом. Вместе с тем ему удалось не только ответить на вопрос, но и сделать при этом нечто большее. Отсюда кажется совершенно естсественным, что свою статью, описывающую основные идеи и ход его рассуждений, он назвал «О вычислимых числах применительно к Entscheidungsproblem». Тем не менее именно лекции Ньюмана помогли выявить нужное направление, в котором возникла возможность решить поставленный вопрос. Так, Алан смог разрешить один из ключевых вопросов в математике, с шумом ворвавшись в научный мир будучи еще никому неизвестным молодым ученым. Его решение проблемы касалось не только абстрактной математики или некоторой игры символов, оно также включало в себя рассуждения о природе отношений человека и физического мира. Это нельзя было назвать наукой с точки зрения проводимых наблюдений и предсказаний. Все, что он сделал — создал новую модель, новую основу. Его методы были сродни той игре воображения, которую использовали Эйнштейн и фон Нейман, ставя под сомнение существующие аксиомы вместо того, чтобы оценивать результаты. Его модель даже не была по-настоящему новой, поскольку раньше уже существовали многие подобные идеи, даже на страницах детской книги «Чудеса природы», представляющие мозг в виде машины, телефонного узла или офисной системы. Ему оставалось лишь объединить такое простое механистичное представление человеческого разума с ясной логикой чистой математики. Его машины, которые в дальнейшем будут называться машинами Тьюринга, стали той самой связью между абстрактными символами и физическим миром. А его образное мышление оказалось, в особенности для Кембриджского университета, пугающим своим индустриальным настроем.

Очевидно, что идея машин Тьюринга была как-то связана с его более ранним изучением теории детерминизма Лапласа. Хотя отношение было достаточно косвенным. С одной стороны, можно было утверждать, что «дух», о котором он ранее рассуждал, не являлся «разумом», решающим задачи интеллектуального характера. С другой стороны, описание машин Тьюринга не имело никакого отношения к физике. Тем не менее, он приложил все усилия, чтобы изложить тезис о «конечном множестве умственных состояний», подразумевающий материальное основание разума, вместо того, чтобы придерживаться лишь доказательства «предписанных указаний». И казалось, что к 1936 году он действительно перестал верить в идеи, которые еще в 1933 году называл в письме миссис Морком «утешительными» — идеи выживания духа и духовной связи. Вскоре он предстал в роли убедительного сторонника материалистических взглядов и признал себя атеистом. Так, Кристофер Морком был похоронен дважды, и Вычислимые Числа ознаменовали окончательное прощание Алана с другом детства.

Однако за внешним изменением скрывалась особая последовательность действий и постоянство. Раньше его заботило то, как совместить идеи воли и духа с научным описанием вопроса именно потому, что он достаточно остро ощущал влияние материалистических взглядов и вместе с тем чудесную силу человеческого разума. Головоломка осталась прежней, но теперь он подошел к ее решению с иной стороны. Вместо того, чтобы пытаться победить детерминизм, он попытался объяснить проявления свободы. Даже у нее должна была быть причина. В какой-то момент Кристофер отвлек его внимание от представления природы, полной чудес, и теперь он ввернулся к своему прежнему мироощущению.

Его постоянство также выражалось и в его непрекращающихся попытках найти определенное, простое и практичное решение парадокса детерминизма и свободы воли, не только в устном философском ключе. Раньше в своих стремлениях он поддержал идею Эддингтона об атомах в человеческом мозге. Он оставался глубоко заинтересованным в области квантовой механики и ее интерпретаций, но он больше не желал заниматься проблемами «пустословия». Теперь он нашел свое собственное дело, представив новый образ мысли об окружающем мире. По сути квантовая физика могла охватывать все существующее, но на практике, чтобы выразить какое-нибудь суждение о мире, требовалось сразу несколько разных уровней описания. Дарвинистский «детерминизм» естественного отбора зависел от случайной «мутации» отдельных генов. Детерминизм химии выражался в системе взглядов, по которому движение отдельных молекул было «случайным». Центральная предельная теорема явилась примером, каким образом при помощи точно установленной системы из полного хаоса мог возникнуть определенный порядок вещей. Наука, как отметил Эддингтон, признала множество различных случаев детерминизма, а вместе с тем множество различных проявлений свободы. В машине Тьюринга Алану удалось создать свой случай детерминизма в виде автоматической машины, производящей операции в рамках логической системы мышления, которую он считал подходящей для изучения человеческого разума.

Вся работа была выполнена им самостоятельно, ни разу он не обратился с обсуждением строения его машин к Ньюману. Лишь однажды он коротко обсудил теорему Геделя с Ричардом Брейтуэйтом во время ужина за профессорским столом. В другой раз он задал вопрос о методе Кантора молодому члену Совета Кингз-Колледжа Алистеру Уотсону (как оказалось, стороннику коммунистов), который только недавно сменил свою область интересов с математики на философию. Он поведал о своих мыслях Дэвиду Чамперноуну, и тот ухватил суть идеи создания универсальной машины, но с издевкой заметил, что такая машина уместится только в здание Алберт-Холла. Это замечание было довольно справедливым и было принято во внимание, поскольку если у Алана и имелись мысли представить свою идею, предложив практическое ей применение, то в самой статье их уже не было. Чуть южнее от Алберт-Холла располагался Музей наук, где хранились останки «Разностной машины» Чарльза Бэббиджа, похожей универсальной машины, спроектированной многими годами ранее. Вполне вероятно, что Алан имел возможность увидеть ее, но даже в таком случае, она не имела очевидного влияния на его идеи и особенности машинного языка. Его «машина» не имела ни одного очевидного аналога в чем-либо современном 1936 году, если только в общих чертах вобрала в себя некоторые черты изобретений, появившихся с развитием электротехнической промышленности: телетайпы, телевизионная разверстка изображения, автоматическая телефонная связь. Это было полностью его собственное изобретение.

Довольно объемистая статья, полная новых идей, с проделанной большой технической работой и ощущением, что множество мыслей не умещались в рамки печатного слова. Работа «Вычислимые числа», должно быть, полностью вырвала Алана из привычной жизни на целый год, начиная с весны 1935 года. Где-то в середине апреля следующего года, вернувшись из поездки в Гилфорд на пасхальные каникулы, он передал машинописный текст работы лично в руки Ньюману.

Оставалось множество вопросов без ответа относительно открытий, совершенных Геделем и Аланом, и того, что имели в виду под свои описанием разума. В конечном решении программы Гильберта оставалось много неопределенностей, хотя оно определенно подавило надежду слишком наивного рационализма иметь возможность решить любую проблему путем вычисления. Для некоторых, включая самого Геделя, неудача попытки доказать последовательность и полноту математики служило новым примером превосходства разума над механизмом. С другой стороны, машина Тьюринга открыло возможности для новой области детерминистической науки. Она служила моделью, в которой наиболее сложные процессы строились из элементарных составляющих — состояний и позиций, считывания информации и ее записи. Вместе с тем она предполагала под собой чудесную математическую игру ума, в которой любой «определенный метод» представлялся в стандартной форме.

Алан доказал, что не существует никакой сверхъестественной машины, которая смогла бы решить все математические проблемы, но в ходе своего доказательства он открыл нечто столь же удивительное: идею универсальной машины, которая могла воспроизвести работу любой другой машины. Также ему удалось доказать, что любое действие, выполняемое человеком за машиной, могло быть произведено самой машиной без вмешательства человека. Таким образом, существовала единая машина, которая путем считывания помещенного на ленту описания работы других машин, могла производить тот же результат, что и умственная деятельность человека. Одна машина могла заменить операциониста! Электрический разум существует!

Между тем смерть Георга Пятого ознаменовала собой переход от протеста против старого порядка к страху перед тем, что могло ожидать впереди. Германия уже победила новое Просвещение и поставила железное клеймо на идеалистах. В марте 1936 года был снова оккупирован Райнленд, и это означало только одно: будущее теперь зависело от политики усиления военной мощи и подготовки к войне. Кто тогда мог увидеть во всем этом связь с судьбой кембриджского математика? И все же связь была, поскольку однажды Гитлер потеряет Райнленд, и именно тогда универсальная машина сможет найти в мире свое практическое применение. Эта идея появилась в результате личной потери Алана Тьюринга. Но между идеей и ее воплощением произойдет в результате жертвы миллионов людей. Но этим жертвам не придет конец даже после свержения власти Гитлера; для мировой Entscheidungs problem также не было найдено решения.