Краткие теоретические сведения. Система n линейных уравнений с n неизвестными x1, x2,

Система n линейных уравнений с n неизвестными x ₁, x ₂,..., x _n

(1)

называется системой линейных уравнений n -го порядка; a _ij – коэффициенты, b _i– свободные члены системы.

Численные методы решения систем линейных уравнений делятся на прямые и итерационные [7].

Прямые методы позволяют получить в принципе точное решение за конечное количество арифметических операций, однако при увеличении порядка n системы возрастает погрешность вычисления неизвестных x ₁, x ₂,..., x _n.

Итерационные методы позволяют получать решение с заданной точностью на основе алгоритмов, использующих последовательное приближение (итерацию), однако эффективность итерационных алгоритмов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости итерационного процесса.

Один из прямых методов, который достаточно просто реализуется средствами Microsoft Excel, использует вычисление обратной матрицы.

 

Если представить систему линейных уравнений (1) в матричном виде

, (2)

где – матрица коэффициентов,

– вектор-столбец неизвестных, – вектор-столбец свободных членов, то решение системы (2) находится следующим образом

(3)

где – матрица, обратная к матрице .

Пример

Найти решение системы линейных уравнений

(4)

двумя методами: прямым, с использованием обратной матрицы, и итерационным. Сравнить полученные решения.