ПСИХОЛОГИЯ СЕМЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ. Премьера 13.04.2012 года. 15 страница

Основная идея проста. Очевидно, что точки в правой стороне рис. 15.1 образуют прямую линию, называемую «склон». Можно про­ложить через эти точки линейку и определить, сколько собственных значений факторов явно располагаются над этой линией —- это и есть количество факторов, которые должны быть извлечены.

Рис. 15.1. Тест «каменистой осыпи», демонстрирующий собственные значения факторов, полученных в результате анализа главных компонент девяти переменных до вращения матрицы. График показывает, что следует извлечь два фактора.

Рис. 15.1 представляет двухфакторное решение. Дальнейшие при­меры использования тестов такого типа были даны Кэттеллом (Cattell, 1966) в главе 5 книги Кэттелла (Cattell, 1978) и Кэттел­лом и Фогельманом (Cattell, Vogelman, 1977). Несколько широко распространенных пособий по факторному анализу описывают этот тест неправильно, утверждая, что количество факторов соответ­ствует количеству собственных значений факторов, располагаю­щихся над прямой линией, плюс еще один. Таким образом, в при­веденном выше решении они стали бы настаивать на выделении трех факторов. Не очень понятно, как возникло это недоразуме­ние, поскольку в статьях Кэттелла и в его книге, вышедшей в 1978 г., совершенно ясно говорится по этому поводу: «Последний реальный фактор — это тот фактор, который обнаруживается пе­ред тем, как график превращается в горизонтальную прямую ли­нию» (Cattell, Vogelman, 1977).

Проблема теста «каменистой осыпи» заключается в том, что он полностью основывается на субъективных суждениях и может иногда иметь несколько возможных интерпретаций, особенно когда размер выборки или «выступающие» факторные нагрузки невели­ки (Gorsuch, 1983). Иногда на графике обнаруживается более чем

один четко идентифицируемый излом прямой линии. В таких случаях необходимо просто просмотреть собственные значения факторов, которые расположены над крайним слева отрезком прямой линии. Хорошая методика для определения количества извлекаемых факторов — МАР-тест (Velicer, 1976). В вычислительном отноше­нии она слишком сложна, чтобы выполнять ее вручную, но она не включена в основные коммерческие пакеты для выполнения факторного анализа, несмотря на то что является одной из наи­более признанных точных методик (Zwick, Velicer, 1986). Суще­ствует несколько других подходящих методов, но они тоже оста­ются не введенными в главные пакеты. Компьютерные моделиру­ющие исследования показали, что в отсутствие МАР-теста тест «каменистой осыпи», вероятно, представляет наиболее точный руководящий принцип для принятия всех важных решений по поводу количества факторов, извлекаемых из корреляционной матрицы.

.. <..., ". >-,-..................

Задание для самопроверки 15.2

По графику, приведенному ниже, определите, сколько факторов мож­но было бы выделить с помощью теста «каменистой осыпи» и крите-

I Определение общностей

Общность переменной — это часть ее вариативности, которая может быть разделена с другими переменными, включенными в факторный анализ. В случае компонентного анализа допускается, что потенциально она составляет 100%. Это значит, что корреля-

|ции между переменными полностью приписываются вариативно­сти общего фактора и ошибке измерения. В случае факторных мо­делей дополнительно предполагается, что каждая переменная об­ладает некоторой долей надежно измеряемой вариативности, которая «уникальна» для этой переменной и, следовательно, не может быть разделена с какими-либо другими переменными в ана­лизе. Это «уникальная вариативность» переменной, поэтому общ­ности переменных в моделях факторного анализа, как правило, составляют меньше 1,0 благодаря «уникальной вариативности», связанной с каждой переменной.

(Оценка общностей — процесс, который вызывает беспокой­ство у специалистов по факторному анализу, потому что не суще­ствует простого способа проверить, правильны ли оценки, кото­рые для этого применяют. Иногда используемые процедуры при­водят к нелепым оценкам общностей, которые оказываются больше 1,0 («случаи Хейвуда»), Проблемы, связанные с этим, могут побу­дить многих исследователей использовать более простую компо­нентную модель.

Разные методы выделения факторов отличаются способами, которые исполБзуются для оценки общностей. Простейшим явля-

|ется анализ главного фактора, в котором общности в первую оче­редь оцениваются с помощью серии множественных регрессий, при этом все другие переменные используются в качестве «пре­дикторов». Поскольку общность определяется как пропорция ва­риативности какой-либо переменной, разделяемой с другими пе­ременными, участвующими в анализе, считается, что это дает «нижний предел» общности — наименьшую величину, которую вообще может иметь общность, хотя работа Кайзера (Kaiser, 1990) оспаривает эту точку зрения. Многие компьютерные программы (такие, как SPSS) затем несколько раз модифицируют эти вели­чины, используя процесс, известный как «итерация», до тех пор, пока не будет достигнута стабильность. Однако, к сожалению, те­оретические основания для повторной итерации сомнительны и [ нет гарантий, что они дадут правдоподобные оценки подлинных

величин общностей. Можно также определить значение общностей непосредственно, и некоторые компьютерные программы позволя­ют пользователю выбирать другие значения, такие, как самая боль­шая корреляция между каждой переменной и любой другой. Крите­рий максимального правдоподобия решает проблему общности наи­более разумным путем. Следует подчеркнуть, что на самом деле на практике редко имеет значение, какая методика используется.

Выделение факторов

Для выделения факторов существует ряд приемов, и все они имеют различные теоретические основания. Большинство статис­тических пакетов предлагает пользователям выбор между анали­зом главных факторов, анализом образов, методом максимально­го правдоподобия, анализом невзвешенных минимальных квадратов («MINRES») и обобщенных минимальных квадратов. Большинство из этих методов имеют свои собственные, присущие только им при­емы для оценки общностей. На практике при условии, что оценива­ется одинаковое количество факторов и общностей, все методы бу­дут, как правило, давать почти идентичные результаты.

Теперь, однако, мы должны признать, что в предыдущей гла­ве излишне упростили процедуру, благодаря которой факторы проводятся через кластеры переменных. На практике этот процесс имеет две стадии. Сначала факторы помещаются в некоторую про­извольную позицию по отношению к переменным, а затем факто­ры проводят через кластеры переменных (эта процедура называет­ся вращение фактора).

Следовательно, все вышеупомянутые методы выделения фак­торов помещают факторы, по сути, в произвольные положения по отношению к переменным. В типичных случаях факторы распо­лагают так, чтобы каждый последующий фактор находился:

• под прямыми углами по отношению к предыдущим факто­рам

и

• в положении, в котором он «объясняет» существенную часть вариативности заданий (т.е. там, где его собственное значе­ние велико).

На рис. 15.2 представлены корреляции между четырьмя пере­менными от VI до V4. Можно видеть, что VI и V2, так же как V3 и

Рис. 15.2. Типичные позиции двух факторов по отношению к четырем переменным, наблюдающиеся после выделения факторов.

V4, значительно коррелируют между собой. Изучение рисунка по­казывает, что наиболее разумным было бы двухфакторное реше­ние, при котором один фактор проходит между VI и V2, а дру­гой — между V3 и V4. Однако первоначальное выделение не поме­щает факторы в эту осмысленную позицию. Вместо этого первый фактор проходит между двумя кластерами переменных, а не через середину любого из них. Все переменные будут иметь умеренные положительные нагрузки по этому фактору. Второй фактор нахо­дится под прямым углом к первому и имеет положительные кор­реляции с переменными V3 и V4 и отрицательные корреляции с VI и V2. Ни в одном случае фактор не проходит через середину пары высококоррелирующих переменных.

Вращение факторов

Вращение факторов изменяет положение факторов по отно­шению к переменным таким образом, что получаемое решение легко интерпретировать. Как упоминалось в главе 14, факторы выделяют, учитывая, какие переменные имеют большие и/или нулевые нагрузки по ним. Решения, не поддающиеся интерпрета­ции, — это те решения, в которых большое число переменных,

вошедших в фактор, имеют нагрузки «среднего уровня», т.е. по­рядка 0,3. Они слишком малы, чтобы рассматриваться как «весо­мые» и использоваться для выделения фактора, и все же слишком велики, чтобы их можно было игнорировать без всякого риска. Вра­щение (ротация) факторов перемещает факторы относительно пе­ременных таким образом, что каждый фактор получит несколько больших нагрузок и несколько нагрузок, близких к нулю. По сути это иной способ заявить, что факторы вращают до тех пор, пока те не пройдут через кластеры переменных, например, между VI и V2 и между V3 и V4 (рис. 15.2).

Терстоун (Therstone, 1947) был, вероятно, первым, кто осоз­нал, что первоначальная позиция факторных осей устанавлива­лась произвольно, и поэтому такие решения было трудно интер­претировать и еще труднее воспроизвести. Он ввел термин «про­стая структура», чтобы обозначить случай, при котором каждый фактор имеет некоторое число больших нагрузок и некоторое чис­ло маленьких и аналогично каждая переменная имеет существен­ные нагрузки только по небольшому числу факторов. Его «эмпи­рические правила» были тщательно обобщены в работе Чайлда (Child, 1990, р. 48).

Табл. 15.1 демонстрирует, насколько легче интерпретировать факторные решения, полученные после вращения, по сравнению с решениями, имевшимися до вращения. Решение, имевшееся до вращения, трудно интерпретировать, поскольку все переменные имеют умеренные нагрузки по первому фактору, в то время как второй фактор, по-видимому, дифференцирует «математические» и «языковые» способности. После вращения решение становится абсолютно ясным. Первый фактор, по-видимому, измеряет язы­ковые способности (благодаря существенным нагрузкам по тестам понимания и правописания), второй — соответствует математи­ческим способностям. Представлены также собственные значения факторов и общности. Благодаря этому становится ясным, что во время вращения общность каждой переменной остается той же самой, а собственные значения факторов — нет.

Перед вращением факторов необходимо принять одно прин­ципиальное решение. Должны ли они оставаться под прямым уг­лом друг к другу («ортогональное вращение») или следует допус­тить их взаимную корреляцию («облическое вращение»)? Рис. 15.3 четко показывает, что облическое решение иногда необходимо, чтобы позволить факторам занять осмысленное положение по от-

Таблица 15.1

Факторные решения до и после вращения

	До вращения	После вращения	h2
		(VARIMAX)
	Фактор 1	Фактор 2	Фактор 1	Фактор 2
Понимание	0,4	0,3	0,50	0,00	0,25
Правописание	0,4	0,5	0,64	0,00	0,41
Сложение	0,4	-0,4	0,13	0,55	0,32
Вычитание	0,5	-0,3	0,06	0,58	0,34
Собственное	0,59	0,73	0,68	0,64	1,32
значение фактора

ношению к переменным. Однако вычисление и интерпретация ортогональных решений значительно проще, что объясняет их большую популярность.

Компьютерная программа Кайзера (Kaiser, 1958) VARIMAX представляет в высшей степени распространенный выбор ортого­нальных вращений, и многие компьютерные программы осуще­ствляют ее как задаваемую по умолчанию. Для тех, кто заинтересо­ван в подобных процедурах, отметим, что концептуально это дос­таточно просто. Табл. 15.2 содержит квадраты каждой нагрузки из табл. 15.1 (возведение в квадрат используется для того, чтобы уда­лить отрицательные знаки в тех случаях, когда они есть). Нижний ряд табл. 15.2 представляет вариативность (квадрат стандартного отклонения) этих четырех нагрузок, возведенных в квадрат. Вид­но, что, поскольку некоторые из нагрузок в матрице после враще­ния были больше, а другие — меньше, вариативность квадратов нагрузок после вращения оказывается намного больше, чем вари­ативность нагрузок в матрице до вращения (0,041 и 0,034 по срав­нению с 0,002 и 0,006). Следовательно, если факторы располага­ются так, что вариативность нагрузок (возведенных в квадрат) максимально велика, это должно быть гарантией, что достигнута «простая структура». И это именно тот способ (с очень небольши­ми модификациями, которые здесь нет необходимости рассматри­вать), каким действует программа VARIMAX. Она находит вари­ант вращения, при котором вариативность квадратов факторных нагрузок максимальна.

Таблица ]5.2

Возведенные в квадрат факторные нагрузки из табл. 15.1, демонстрирующие принцип вращения по методу VARIMAX

До вращения После вращения

(VARIMAX)

______________Фактор I Фактор 2^ Фактор 1 Фактор 2

Понимание 0,160 0,090 0,250 0,000

Правописание 0,160 0,250 0,410 0,000

Сложение 0,160 0,160 0,017 0,302

Вычитание 0,250 0,090 0,003 0,336

Вариативность 0,002 0,006 0,038 0,034 квадратов нагрузок

Облическое вращение является более сложным. Первая про­блема заключается в определении того, может ли такое вращение привести к появлению простой структуры. Вы помните, что «фак­торная структурная матрица» содержит корреляции между всеми переменными и всеми факторами. Из рис. 15.3 ясно, что, хотя каж­дый фактор проходит точно через кластер переменных, поскольку факторы коррелируют между собой, больше не соблюдается поло­жение, при котором каждая переменная имеет большую нагрузку (корреляцию) только в одном факторе. Поскольку факторы кор­релируют между собой, корреляции между VI, V2 и V3 и факто­ром 2 не приближаются к нулю. Подобно этому, хотя V4, V5 и V6 будут иметь значительные нагрузки по фактору 2, они будут также иметь существенные корреляции с фактором 1. Это значит, что больше нельзя использовать факторную структурную матрицу, что­бы определить, достигнута ли «простая структура».

Для этой цели может быть вычислена другая матрица, называ­емая «матрицей факторных паттернов». Она не дает корреляции между переменными и факторами; на самом деле числа, которые она включает, могут быть больше 1,0. Зато она показывает, какому фактору какие переменные «принадлежат», по сути, корректируя структуру матрицы с учетом корреляций между факторами. Таким образом, она может быть использована, чтобы определить, дос­тигнута ли простая структура.

Для данных, представленных на рис. 15.3, матрица факторных паттернов будет напоминать запись, полученную при вращении

Рис. 15.3. Шесть переменных и два коррелирующих фактора.

методом VARIMAX из табл. 15.1. (В случае ортогональных вращений, таких, как VARIMAX, корреляция между факторами всегда равна О, и не существует корреляций между факторами, которые нужда­лись бы в корректировке. Таким образом, числа в матрице фактор­ных паттернов соответствуют числам в структурной матрице.)

Настораживает тот факт, что не существует единой точки зре­ния относительно того, что следует интерпретировать — матрицу факторной структуры или матрицу факторных паттернов, для того чтобы отождествить факторы или сообщить результаты факторно­го анализа. Например, Клайн (Kline, 1994, р. 63) констатирует, что «очень важно... чтобы интерпретировалась структура, но не паттерн», однако Кэттелл (Cattell, 1978, ch. 8), а также Табачник и Файделл (Tabatchnick, Fidell, 1989, p. 640) придерживаются пол­ностью противоположного мнения. Брогден (Brogden, 1969) пред­полагает, что если факторный анализ использует хорошо понят­ные тесты, но интерпретация факторов неизвестна, тогда следует принимать во внимание матрицу факторных паттернов. Напротив, если известна природа факторов, тогда следует принимать во вни­мание структурную матрицу. Позиция Брогдена в этом вопросе кажется обоснованной.

У читателей может вызвать удивление тот факт, что вообще существует возможность идентификации фактора, а не перемен­ных, которые в него входят. Однако это так. Например, можно провести корреляционный и факторный анализы выборки пове­денческих и психологических показателей. Факторные оценки мо-гут быть подсчитаны для каждого человека, и их можно прокорре-лировать с другими тестами. Если набор факторных оценок обна-

	До вращения	После вращения
		(VARIMAX)
	Фактор I	Фактор 2	Фактор 1	Фактор 2
Понимание	0,160	0,090	0,250	0,000
Правописание	0,160	0,250	0,410	0,000
Сложение	0,160	0,160	0,017	0,302
Вычитание	0,250	0,090	0,003	0,336
Вариативность	0,002	0,006	0,038	0,034
квадратов нагрузок

руживает корреляцию 0,7 с оценками испытуемых по признанной шкале тревожности, с определенной уверенностью можно сделать вывод, что полученный фактор измеряет тревогу. В качестве аль­тернативы можно включить в анализ несколько хорошо проверен­ных тестов', чтобы те действовали как «переменные, выполняю­щие функцию маркеров». Если они имеют большие нагрузки по одному из факторов после вращения, это четко выявит природу данных факторов.

Для проведения облических вращений было написано несколько программ; взаимосвязи между различными методами обсуждают Кларксон и Дженнрих (Clarkson, Jennrich, 1988), а также Харман (Harman, 1967). Техники, подобные Прямому Облимину (Jennrich, Sampson, 1966), входят в число наиболее полезных. Почти все эти программы для достижения простой структуры нуждаются в «тон­кой настройке» (Harman, 1976) обычно с помощью программно­го параметра, который контролирует получение облических фак­торов. Он определяется задаваемой по умолчанию величиной, ко­торая, как отчасти надеется автор программы, будет адекватна в большинстве случаев. Использование этой величины вслепую — хотя и распространенная, но опасная практика. Харман (Harman, 1967) предлагает использовать несколько вращений — каждое с разным значением этого параметра — и интерпретировать то из них, которое окажется самым близким к простой структуре. Я на­хожу этот совет вполне обоснованным.

Задание для самопроверки 15.3

Что такое простая структура и почему «получение простой структуры путем вращения» практически всегда осуществляется в ходе фактор­ного анализа?

Факторы и факторные оценки

Представим себе, что проводится факторный анализ заданий теста, измеряющего некоторые умственные способности, напри­мер, скорость, с которой люди могут визуально представить себе, как будут выглядеть различные геометрические формы после их вращения или переворачивания. После выполнения факторного или компонентного анализа полученных данных можно обнаружить, что большую часть вариативности объясняет один фактор, в кото­ром существенные нагрузки имеют многие задания теста.

 

Можно валидизировать этот фактор точно таким же способом, как стали бы валидизировать тест (последнее обсуждалось в главе 13). Например, можно определить, насколько высоко фактор коррели­рует с другими психологическими тестами, измеряющими простран­ственные способности, с показателями выполнения теста и т.д. Од­нако, чтобы сделать это, необходимо для каждого испытуемого по­лучить показатель по этому фактору — его «факторную оценку».

Один очевидный путь вычисления факторной оценки заклю­чается в том, чтобы выделить задания, имеющие существенные нагрузки по данному фактору, и для каждого испытуемого сумми­ровать оценки, полученные по этим заданиям, игнорируя зада­ния, которые имеют незначительные нагрузки по данному факто­ру. Например, представим себе, что показатели времени ответов были профакторизованы только для четырех заданий и что они получили факторные нагрузки 0,62; 0,45; 0,18 и 0,90 (после враще­ния). Это дает основание считать, что задания 1, 2 и 4 измеряют в значительной степени один и тот же конструкт, в то время как задание 3 измеряет скорее что-то отличное от них. Следовательно, можно было бы просмотреть файл данных и у каждого испытуемо­го усреднить показатели времени ответов только на задания 1, 2 и 4. Таким образом, каждый испытуемый получит «факторную оцен­ку», являющуюся показателем скорости, с которой они могут ре­шить три задания, имеющие существенные нагрузки по фактору. Другой способ проанализировать это — допустить, что оценки каждого испытуемого «взвешены» с использованием следующих чисел 1, 1, 0 я 1. Вес, равный «1», дается, если факторная нагруз­ка считается существенной (выше 0,4 например); вес, равный нулю, соответствует маленьким незначимым факторным нагрузкам. Та­ким образом, факторная оценка испытуемого может быть вычис­лена по такой формуле:

или

где символы от RT, до RT4 представляют показатели времени отве­та на задания с 1-го по 4-е, соответственно. «Веса» (нули или еди­ницы) называются «коэффициентами факторной оценки». Если вычислены факторные оценки каждого испытуемого, их можно коррелировать с другими переменными, чтобы установить валид-ность этого показателя пространственных способностей.

Хотя эта методика вычисления факторных оценок иногда встре­чается в литературе, она на самом деле имеет свои недостатки. Например, хотя задания 1, 2 и 4 имели факторные нагрузки боль­ше 0,4, задание 4 имело нагрузку, которая существенно выше, чем нагрузка задания 2. Это означает, что задание 4 представляет собой намного лучший показатель фактора, чем задание 2. Долж­ны ли веса — «коэффициенты факторной оценки» — отражать это? Вместо того чтобы быть нулями и единицами, должны ли они каким-то образом быть связаны с размером факторных нагрузок? Этот подход явно имеет смысл, и стандартная программа фактор­ного анализа почти неизменно будет предлагать пользователям опцию вычисления этих коэффициентов факторных оценок — по одной для каждой переменной и для каждого фактора. После их получения не составит труда умножить оценку каждого испытуе­мого по каждой переменной на соответствующий коэффициент факторной оценки и таким образом вычислить «факторную оцен­ку» каждого испытуемого по-каждому фактору. Большинство ком­пьютерных программ даже сделают это вычисление за вас.

Для полноты картины следует упомянуть, что коэффициенты факторной оценки не применимы к «сырым» оценкам по каждому заданию, их можно использовать только со «стандартизованными» оценками. Рассмотрим задание-1. Если испытуемый имеет время ответа на это задание 0,9 с, тогда как среднее время ответа на остальные задания выборки вместе с этим заданием составляет 1,0с, а стандартное отклонение — 0,2 с, то время ответа 0,9 с

будет преобразовано в стандартизованную величину

Именно эта величина, а не первичная величина 0,9 с, использует­ся при вычислении факторных оценок.

Сама процедура вычисления коэффициентов факторной оцен­ки не должна нас здесь беспокоить. Для тех, кто заинтересуется этим вопросом, его основательные обсуждения можно найти в руководствах Хармана (Harman, 1976, ch. 16), Комри и Ли (Comrey, Lee, 1992, sec. 10.3), а также Харриса (Harris, 1967). Вычисление факторных оценок — простое дело, когда используется анализ глав­ных компонент, проблема усложняется в случае применения любой формы факторного анализа. Здесь существует несколько разных методов, предназначенных для вычисления факторных оценок, каждый со своими собственными достоинствами и недостатками.

Метод Бартлетта — один из лучших (как утверждают McDonald, Burr, 1967-), и он присутствует как опция во многих пакетах по факторному анализу.

Задание для самопроверки 15-4

Предположим, что менеджер по персоналу провел факторный анализ оценок соискателей по ряду тестов. Как можно использовать этот анализ для того, чтобы решить, какие тесты больше не будут пред­сказывать, насколько хорошо работники справятся со своими обя­занностями?

Иерархический факторный анализ

Когда проводится облическое факторное вращение, получае-1ые факторы обычно коррелируют между собой. Матрица взаим-1ых корреляций факторов представляет углы между факторами, и:ама может быть подвергнута факторному анализу. Иначе говоря, сорреляции между факторами можно проанализировать и выде-шть любые кластеры факторов, т.е. произвести факторный анализ (второго порядка», или «второго уровня» (факторизация корреля­ций между переменными — это анализ «первого порядка»), и ис-;ледователи, например, Кэттелл, широко использовали эту мето-щку. Полезность такого анализа можно проиллюстрировать с по-ющью примера.

Недавно вместе с Крисом МакКонвиллом мы задались целью установить, какими могут быть основные параметры настроения [McConville, Cooper, 1992b). Мы провели факторный анализ кор->еляций более 100 заданий, направленных на оценку настроения, извлекли и подвергли облическому вращению пять факторов пер­вого порядка, соответствующих основным параметрам настроения, обсуждавшимся в главе 10. Затем мы провели факторный анализ корреляций между этими факторами первого порядка и обнару­жили, что четыре из этих факторов коррелируют между собой, образуя фактор настроения второго порядка, названный «негатив­ный аффект». Пятый фактор настроения имел незначительную на­грузку по этому фактору. Таким образом была установлена иерар­хия факторов настроения, как показано на рис. 15.4.

Если имеется много факторов второго порядка и они обнару­живают приемлемую степень корреляции, будет вполне законным провести факторный анализ корреляций между факторами второ­го порядка, чтобы выполнить факторный анализ третьего порядка.

Рис. 15.4. Пример иерархического факторного анализа из работы Мак-Конвилла и Купера (McConville, Cooper, 1992b).

Процесс можно продолжать либо до тех пор, пока корреляции не станут, по сути, равными нулю, либо до тех пор, пока не полу­чится только один фактор.

Проблема, присущая этому иерархическому анализу, состоит в том, что может быть чрезвычайно трудно идентифицировать или концептуализировать факторы второго и более высоких порядков. В то время как факторы первого порядка могут быть эксперимен­тально идентифицированы выделением заданий с существенными нагрузками, матрица факторов второго порядка показывает, как факторы первого порядка нагружают фактор (факторы) второго порядка. По этой причине может быть достаточно сложно иденти­фицировать факторы второго порядка. Например, что можно было бы сделать с фактором, который, оказывается, измеряет первич­ные способности к правописанию, визуализации образов и спо­собности в области механики. Было бы намного легче проанализи­ровать, что происходит, если бы можно было показать, что около дюжины переменных имеют большие нагрузки по фактору второ­го порядка, вместо того чтобы пытаться интерпретировать факто­ры второго порядка в категориях только двух больших нагрузок, присущих факторам первого порядка.

Для того чтобы преодолеть эту проблему, было изобретено не­сколько методов. Все они связывают факторы второго и более вы­соких порядков с непосредственно наблюдаемыми переменными (Schmid, Leiman, 1957). В приведенном выше примере факторы второго порядка будут определены не в категориях первичных фак­торов (правописание, визуализация, способности в области меха­ники и т.д.), а в категориях действительных переменных. МакКон-велл и Купер (McConville, Cooper, 1992b) приводят пример ис­пользования этой методики на практике. Ни один из стандартных пакетов, осуществляющих факторный анализ, не включает мето-- дику Шмида—Лемана, но такие пакеты, как EQS и LISREL (опи­санные ниже), могут выполнять подобный анализ.

Вторая проблема, связанная с таким анализом, касается ошибки измерения. Иногда несколько довольно разных факторов первого порядка почти в полной мере удовлетворяют требованиям, по­скольку это касается критерия соответствия простой структуре. Од­нако более или менее произвольный выбор одного такого решения будет оказывать мощный эффект на корреляции между факторами и, следовательно, на количество и природу факторов второго по­рядка. Факторный анализ следует осуществлять с особой тщательно­стью, если предполагается получить иерархические решения.