НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Определение 1. Пусть f – соответствие между множествами X и Y. Множество всех пар {(y,x)| (x,y)Î f } называется соотвтетствием обратным для соответствия f и обозначается f ^–1.

Определение 2. Если соответствия f и f ^–1 являются функциями, то функция f называется обратимой,а f ^–1 – обратной для функции f.

Функции f и f ^–1 являются взаимно обратными, т.к. (f ^–1)^–1= f, а отображение

f: Х Y является взаимно однозначным.

Свойства взаимно обратных функций:

1. D (f ^-1) = E (f), E (f ^-1) = D (f).

2. f ^–1 (f (x)) = x " x ÎD(f); f (f ^–1 (y)) = y " y Î E (f).

3. Графики функций f и f ^–1 – симметричны относительно прямой y = x.

Примем без док-ва следующую теорему

Теорема 1. Если функция f является взаимно однозначным отображением области определения D (f) на область значений E (f), то обратое ей соответствие f ^–1 – функция.

Теорема 2 (о существовании и непрерывности обратной функции). Пусть функция f строго возрастает (убывает) и непрерывная на области определения D(f), являющейся промежутком. Тогда обратное соответствие f ^–1 является функцией возрастающей (убывающей) и непрерывной в своей области определения D(f ^–1 ) = E(f), которая также является промежутком.

Заметим, что согласно следствию из ІІ теоремы Больцано-Коши область значений непрерывной на промежутке функции E(f) = D(f ^–1) – промежуток.

► Доказательство проведём для возрастающей функции в 3 этапа.

1 этап. Пусть f – возрастающая, докажем, что f ^–1 – функция, т.е. покажем, что каждому

y Î D (f ^–1) = E (f) соответствует единственное значение х Î E (f ^–1) = D(f).

Допустим противное, что некоторому у_о Î E (f) соответствуют два х₁, х₂ Î D (f) такие, что f(x₁) = y_o і f(x₂) = y_o, но х₁ ≠ х₂. Пусть для определённости х₁ < х₂. Из условия возрастания функции f следует, что f(x₁) < f(x₂) Û y_o < y_o, а это невозможно.

2 этап. Докажем, что f ^–1 – возрастающая функция в области определения D (f ^–1) = E (f). В множестве E (f) возьмем любые у₁ и у₂ такие, что у₁ < у₂ и покажем, что f ^–1 (у₁)< f ^–1 (у₂).

Допустим противное: f ^–1 (у₁) ³ f ^–1 (у₂). Всилу возрастания функции f будем меть

f(f ^–1 (y₁)) ³ f(f ^–1 (у₂)) Þ у₁ ³ у₂, что противоречит условию у₁ < у₂. Это и доказывает возрастание функции f ^–1.

3 этап. Дакажам, што функция f ^–1 непрерывная на E (f).

Мы доказали, что f ^–1 – возрастающая на промежутке E (f) функция, множество её значений E (f ^-1) = D (f) по условию теоремы – промежуток. Тогда по Т.2 §4 f ^–1 –непрерывная функция на E(f). ◄

Пример 1. Найти функцию обратную для функции функция f (х) = 2 x - 4.

Решение. Функция f (х) = 2 x - 4 – непрерывная и возрастающая на D (f) = R. По Т. 2 существует обратная функция, которая также является непрерывной и возрастающей на Е (f) = R. Найдём формулу для функции f ^–1 (у), для этого выразим х = у /2 + 2, или

y = x /2 + 2 (х и у поменяли местами).

Пример 2. Найти функцию обратную для функции

(1)

и построить её график.

Решение. D (f) = R – промежуток. Перепишем функцию (1) в виде Þ Þ e^y - e^–y = 2 x Þ e^y - 1/ e^y = 2 x Þ e^2y - 2 xe^y - 1 = 0 ½обозначим e^y = t > 0½Þ

Þ t ² – 2 xt – 1 = 0 Þ ( не подходит). Т. обр., Þ – функция обратная для функции (1); D (f ^–1)= R.

Построим графики функций f и f ^–1

 

Рис.1 Рис.2