Студопедия — НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ






Определение 1. Пусть f – соответствие между множествами X и Y. Множество всех пар {(y,x)| (x,yf } называется соотвтетствием обратным для соответствия f и обозначается f –1.

Определение 2. Если соответствия f и f –1 являются функциями, то функция f называется обратимойf –1 обратной для функции f.

Функции f и f –1 являются взаимно обратными, т.к. (f –1)–1= f, а отображение

f: Х Y является взаимно однозначным.

Свойства взаимно обратных функций:

1. D (f -1) = E (f), E (f -1) = D (f).

2. f –1 (f (x)) = x " x ÎD(f); f (f –1 (y)) = y " y Î E (f).

3. Графики функций f и f –1 – симметричны относительно прямой y = x.

Примем без док-ва следующую теорему

Теорема 1. Если функция f является взаимно однозначным отображением области определения D (f) на область значений E (f), то обратое ей соответствие f –1 – функция.

Теорема 2 (о существовании и непрерывности обратной функции). Пусть функция f строго возрастает (убывает) и непрерывная на области определения D(f), являющейся промежутком. Тогда обратное соответствие f –1 является функцией возрастающей (убывающей) и непрерывной в своей области определения D(f –1 ) = E(f), которая также является промежутком.

Заметим, что согласно следствию из ІІ теоремы Больцано-Коши область значений непрерывной на промежутке функции E(f) = D(f –1) – промежуток.

Доказательство проведём для возрастающей функции в 3 этапа.

1 этап. Пусть f – возрастающая, докажем, что f –1 – функция, т.е. покажем, что каждому

y Î D (f –1) = E (f) соответствует единственное значение х Î E (f –1) = D(f).

Допустим противное, что некоторому уо Î E (f) соответствуют два х1, х2 Î D (f) такие, что f(x1) = yo і f(x2) = yo, но х1х2. Пусть для определённости х1 < х2. Из условия возрастания функции f следует, что f(x1) < f(x2) Û yo < yo, а это невозможно.

2 этап. Докажем, что f –1 – возрастающая функция в области определения D (f –1) = E (f). В множестве E (f) возьмем любые у1 и у2 такие, что у1 < у2 и покажем, что f –1 (у1)< f –1 (у2).

Допустим противное: f –1 1) ³ f –1 2). Всилу возрастания функции f будем меть

f(f –1 (y1)) ³ f(f –1 2)) Þ у1 ³ у2, что противоречит условию у1 < у2. Это и доказывает возрастание функции f –1.

3 этап. Дакажам, што функция f –1 непрерывная на E (f).

Мы доказали, что f –1 – возрастающая на промежутке E (f) функция, множество её значений E (f -1) = D (f) по условию теоремы – промежуток. Тогда по Т.2 §4 f –1 –непрерывная функция на E(f). ◄

Пример 1. Найти функцию обратную для функции функция f (х) = 2 x - 4.

Решение. Функция f (х) = 2 x - 4 – непрерывная и возрастающая на D (f) = R. По Т. 2 существует обратная функция, которая также является непрерывной и возрастающей на Е (f) = R. Найдём формулу для функции f –1 (у), для этого выразим х = у /2 + 2, или

y = x /2 + 2 (х и у поменяли местами).

Пример 2. Найти функцию обратную для функции

(1)

и построить её график.

Решение. D (f) = R – промежуток. Перепишем функцию (1) в виде Þ Þ ey - e–y = 2 x Þ ey - 1/ ey = 2 x Þ e2y - 2 xey - 1 = 0 ½обозначим ey = t > 0½Þ

Þ t 2 – 2 xt – 1 = 0 Þ ( не подходит). Т. обр., Þ – функция обратная для функции (1); D (f –1)= R.

Построим графики функций f и f –1

 

Рис.1 Рис.2







Дата добавления: 2015-08-31; просмотров: 380. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Пункты решения командира взвода на организацию боя. уяснение полученной задачи; оценка обстановки; принятие решения; проведение рекогносцировки; отдача боевого приказа; организация взаимодействия...

Что такое пропорции? Это соотношение частей целого между собой. Что может являться частями в образе или в луке...

Растягивание костей и хрящей. Данные способы применимы в случае закрытых зон роста. Врачи-хирурги выяснили...

ЛЕКАРСТВЕННЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ИНЪЕКЦИЙ К лекарственным формам для инъекций относятся водные, спиртовые и масляные растворы, суспензии, эмульсии, ново­галеновые препараты, жидкие органопрепараты и жидкие экс­тракты, а также порошки и таблетки для имплантации...

Тема 5. Организационная структура управления гостиницей 1. Виды организационно – управленческих структур. 2. Организационно – управленческая структура современного ТГК...

Методы прогнозирования национальной экономики, их особенности, классификация В настоящее время по оценке специалистов насчитывается свыше 150 различных методов прогнозирования, но на практике, в качестве основных используется около 20 методов...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия