Построение фигуры сечения методом замены плоскостей проекций

 

Ранее было показано решение задачи последовательным пересечением прямой с плоскостью (см.рис.6) и пересечением двух плоскостей (см.рис.9). В обоих случаях эти прямые и плоскости занимают в пространстве общее положение, а вспомогательные плоскости – частное положение по отношению к плоскостям проекций.

Точнее сказать, мы выбираем «посредники» так, чтобы на одной из плоскостей проекций получилось решение сразу. Это возможно, когда «посредники» являются проецирующими плоскостями, т.е. они перпендикулярны к одной из плоскостей проекций. Поэтому можно преобразовать фигуры в такое положение, при котором плоскость параллелограмма или треугольника будет проецирующей. Для этого в заданной плоскости проводим линию уровня (горизонталь или фронталь), устанавливаем новую плоскость проекций перпендикулярную линии уровня и перпендикулярную одной из основных плоскостей проекций p₁ или p₂ и на нее проецируем все вместе. Тогда на этой новой плоскости проекций секущая плоскость (треугольник или параллелограмм) изобразятся прямой линией, и мы увидим решение сразу. Такое решение показано на рис. 10. На этом рисунке видно, что стороны параллелограмма D¢D ₁ ¢; и E¢E ₁ ¢; являются фронталями, т.е. прямыми параллельными фронтальной плоскости проекций p₂.

Исходя из этого, устанавливаем новую дополнительную плоскость проекций p₃ перпендикулярную фронтальной проекции фронтали (ось Х ₁ перпендикулярна f ¢¢) и проецируем на p₃ обе фигуры – пирамиду и параллелограмм. При совмещении p₃ с плоскостью чертежа каждая точка фигур проецируется по линии связи, перпендикулярной новой оси Х ₁ (указано стрелками). От новой оси откладываем координаты точек, измеренные по оси Y (D_y, E _{1 y}, A_y, B_y и т.д.) на горизонтальной плоскости проекций; затем строим пирамиду S¢¢¢A¢¢¢B¢¢¢C¢¢¢ и плоскость параллелограмма, которая станет проецирующей, т.е. изобразится прямой линией (a²¢). На пересечении этой прямой с ребрами пирамиды получим точки M²¢;, N¢²;, 1 ²¢;, и 2 ¢²;. Из этих точек проводим линии связи по стрелкам на фронтальную плоскость проекций до пересечения с соответствующими ребрами: A²S²;, S²C²;, A²B²;, B²C²;. На пересечении M²;1 ²; и N²;2 ²; со стороной E²E ₁ ²; находим точки K²; и L²;. Таким образом, сразу получим окончательный результат в виде четырехугольника M²N²L²K²;. Проецируя эти точки по линиям связи перпендикулярным оси Х до пересечения с горизонтальной проекцией фигур, строим горизонтальную проекцию M¢N¢L¢K¢;. Затем, как было описано выше, определяем видимость, используя конкурирующие точки.

Этим же способом задачу можно решить, если использовать горизонталь плоскости и перпендикулярно ей выполнить описанные выше построения на плоскости p₁. Результат будет тот же.

 

 

 

Рис. 10.

 

 

Рис. 11. Пример оформления расчётно-графической работы.

5. Построение развёртки многогранника

 

Разверткой поверхности многогранника называется плоская фигура, получаемая последовательным совмещением всех его граней с одной плоскостью.

Чертежи разверток имеют большое применение в производстве изделий из листового материала.

Построение развертки многогранника сводится к построению истинных размеров и формы отдельных его граней и может быть выполнено одним из способов преобразования комплексного чертежа: перемены плоскостей проекций, совмещения или вращения. Для выполнения данного задания рекомендуется способ треугольников (триангуляции). Для этого каждую грань призмы с помощью диагонали разбиваем на треугольники. Определяем действительные величины сторон этих треугольников, а затем последовательно строим их. В результате получим развернутую поверхность призмы или пирамиды. На развертке также необходимо построить ломаную линию, состоящую из сторон фигуры сечения.

Рассмотрим подробно построение развертки призмы, приведенной на рис.6.

Построение следует начать со схемы, которую можно выполнить на отдельном листе бумаги (рис.12) или на черновике с готовым решением эпюра №1, уже проверенным преподавателем. На нем ребра призмы и нужные диагонали 3,5,7 граней обозначаются цифрами в порядке выполнения. Действительные величины всех отрезков определяются способом прямоугольного треугольника. Для этого проведем две взаимно перпендикулярные линии (рис.13), на которых по горизонтали от «нуля» - вершины прямого угла откладываем величину одной (любой) из проекций отрезка (l) и, соответственно принятому обозначению, пронумеруем засечки 1,2,3,..., а по вертикали откладываем разность координат этих же отрезков по оси Z (DZ), взятую с другой проекции - ∆ Ζ;₁, ∆ Ζ;₂, ∆ Ζ;₃,.... На вертикальной оси засечки по нумерации должны соответствовать измеренным отрезкам, чтобы не было путаницы. Гипотинузы построенных треугольников будут действительной величиной всех нужных отрезков. Затем выбераем удобную для начала работы грань призмы (например D ₁' D ' F ' F ₁') и с нее начинаем построение первого треугольника D ₁ DF (точка F строится двумя засечками радиусом 2 и 3); используя равенство и параллельность сторон параллелограмма, достраиваем всю грань. Стрелками показано построение точки F ₁ (рис.14). Аналогично строим остальные грани призмы и два основания. В зависимости от расположения фигур, на эпюре построение можно начинать с любой проекции, на которой нагляднее будут изображаться диагонали граней.

Для построения на развёртке ломаной линии PQRP определяем действительные величины отрезков D ₁ P, E ₁ Q и E ₁ R, и откладываем их на соответствующих линиях развертки, как показано на рис.14. Таким образом, развёртка пирамиды строится по трём сторонам каждой её грани.

Пример оформления развёртки призмы приведён на рис. 15.

Рис. 12.

 

DZ

l

Рис. 13

 

Рис. 14.

Рис. 15.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Почему одна проекция не определяет положение точки в пространстве?

2. Как по двум заданным проекциям точки построить третью?

3. Под каким углом к оси проекции должны проходить линии связи?

4. Где расположена сама точка, заданная своими проекциями?

5. Как задается на чертеже прямая линия?

6. Какие виды прямых частного положения Вы знаете?

7. Как изображаются на чертеже прямые уровня: горизонталь, фронталь, профильная прямая?

8. Как изображаются на чертеже проецирующие прямые?

9. Как построить проекции отрезков, которые делят прямую линию в заданном отношении (теорема Фаллеса)?

10. Какие взаимные положения двух прямых Вы знаете?

11. Укажите условие, при котором две прямые пересекаются.

12. Укажите условие, при котором две прямые являются скрещивающимися.

13. Какие две точки называются конкурирующими?

14. Как определить видимость на чертеже при помощи конкурирующих точек?

15. Какими способами можно задать плоскость на чертеже?

16. Что такое плоскость общего положения?

17. Какие виды плоскости частного положения Вы знаете?

18. Каков порядок графических построений при определении линии пересечения двух плоскостей?

19. Какие виды взаимных положений прямой и плоскости Вы знаете?

20. Каков порядок графических построений при определение точки пересечения прямой с плоскостью?

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Гордон В.О., Семнцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии, М.: Высш. шк., 2002.-272 с: ил.

2. Гордон В.О., Иванов Ю.Б., Солнцева Т.Е. Сборник задач по курсу начертательной геометрии, М.: Высш. шк., 1998.-320 с: ил.

3. Локтев О.В. Краткий курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк., 2002

4. Начертательная геометрия/ Крылов Н.Н. и др. - М.: Высш. шк., 2000

5. Фролов С.А., Начертательная геометрия: Учебник для втузов. М.: Машиностроение, 1983. – 240 с., ил

6. ЕСКД. Основные положения. ГОСТ 2.104-68. Основные надписи. М.: Изд-во стандартов, 2001, 343с.

7. ЕСКД. Общие правила выполнения чертежей. ГОСТ 2.301-68 – ГОСТ 2.304-81. М.: Изд-во стандартов, 2001, 238с.