Пересечение призмы с треугольником

Рассмотрим решение задачи способом последовательного пересечения прямой с плоскостью (рис. 6), принимая грани призмы за плоскости общего положения, а стороны треугольника – за прямые общего положения.

Решение начинается на фронтальной плоскости проекций. Через сторону треугольника АС проведем вспомогательную фронтально - проецирующую секущую плоскость a. Так как эта плоскость a перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций, то ее проекцией на плоскость p₂ будет прямая a²₁, совпадающая с фронтальной проекцией стороны треугольника А²С²;. Точки пересечения a²₁ с ребрами F²F²;₁, D²D²;₁ и E²E²;₁ обозначим соответственно 1², 2² и 3². Проведем из этих точек линии связи до пересечения с соответствующими ребрами на горизонтальной плоскости проекций (направление указано стрелками) и получим точки 1¢, 2¢ и 3¢. Соединив эти точки тонкой прямой линией, получим фигуру – треугольник 1¢-2¢-3¢. Эта фигура есть результат пересечения призмы фронтально - проецирующей плоскостью a₁. Отметим одну особенность. На плоскости p₂ мы не видим этот треугольник, т.к. его плоскость лежит в плоскости a²₁, а она проецируется в линию; на горизонтальной плоскости проекций мы видим, что проекция этого треугольника пересекается со стороной А¢С¢; в двух точках М¢; и К¢;. Это и есть пересечение прямой АС с гранями призмы. Проведем линии связи из этих точек М¢; и К¢; на плоскость p₂ и отметим на стороне А¢¢С¢¢; фронтальные проекции М¢¢ и К¢¢; (стрелки указывают направление на p₂).

Смысл таких построений следующий: точка М¢; лежит на линии 3¢ - 2¢, принадлежащей грани DD ₁ E ₁ E, следовательно, М¢; является точкой пересечения прямой АС с этой гранью, соответственно точка К¢; – результат пересечения этой же прямой с другой гранью E ₁ EFF ₁. Иными словами, прямая АС пронизывает призму в точке М¢; и выходит в точке К¢;. Считая призму непрозрачной линию М¢ - К¢; необходимо изобразить как невидимую (штриховой линией).

Аналогично проводим вспомогательную секущую плоскость a²₂ через ребро призмы D²D²;₁ (a²₂ перпендикулярна p₂). Эта плоскость пересекает треугольник А ¢¢ В ¢¢ С ¢¢ по прямой, проходящей через точки 4¢¢ и 5¢¢. Точка 4¢¢ лежит на стороне А ² В ² (ее построение изложено ниже), а точка 5² – на стороне А ² С ². Проведя соответствующие линии связи до пересечения на горизонтальной плоскости с проекциями сторон призмы А ¢ В ¢ и А ¢ С ¢ получаем горизонтальные проекции точек 4¢ и 5¢, через которые проводим прямую 4¢ – 5¢. На горизонтальной плоскости проекций эта прямая пересекается с ребром D ¢ D ¢₁ в точке P ¢. От этой точки проводим линию связи вверх до пересечения с ребром D ¢¢ D ¢¢₁. Таким образом, ребро DD ₁ пересекается с плоскостью треугольника АВС в точке P.

Рис. 6.

Объединив результаты геометрических построений в одно целое, видим, что точки P и М принадлежат плоскости треугольника АВС, следовательно, линия P – М есть прямая, по которой пересекается грань DD ₁ E ₁ E с треугольником АВС. Аналогично, линия P – К является прямой, по которой треугольник АВС пересекается с гранью ЕЕ ₁ F ₁ F. Таким образом, треугольник P - M - K является результатом пересечения призмы с плоскостью.

Все эти геометрические построения можно было выполнить, начиная с горизонтальной плоскости проекций, проведя горизонтально - проецирующие вспомогательные секущие плоскости.

В некоторых вариантах задач сторона треугольника или ребро многогранника могут оказаться прямой частного положения.

В рассмотренном примере (см. рис. 6) такой прямой является сторона треугольника АВ (профильная прямая уровня). На фронтальной плоскости проекций a¢¢₂ пересекает А ¢¢ В ¢¢ в точке 4¢¢. Чтобы построить эту точку на горизонтальной плоскости проекций, используем теорему Фаллеса (отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций) (рис.7):

Рис. 7. Рис. 8.

 

Для этого на плоскости π₁ (см. рис.6) в удобном месте чертежа строим треугольник А¢В¢В¢;₀, помня о том, что точка 4¢¢ лежит ближе к точке В¢¢;, чем к точке А¢¢;. В этом треугольнике сторона А¢В¢;₀ равна стороне А¢¢В¢¢;, и отрезок А ¢ - 4¢₀ равен отрезку А¢¢ - 4. Проводим линию В¢;₀ - В¢; и параллельно ей по стрелке линию 4¢₀ - 4¢. На пересечении А¢В¢; с этой линией будет лежать точка 4¢, и она разделит сторону А¢В¢; в том же отношении, что и точка 4¢¢ на фронтальной плоскости проекций разделит сторону А¢¢В¢¢;.

Аналогично можно построить точку 4¢¢ на π₂, если секущая плоскость будет проведена через ребро D¢D¢;₁ на горизонтальной плоскости проекций (рис 8).