Определитель произведения матриц.
4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. Определитель произведения матриц. Теорема. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц: Доказательство разобьем на несколько случаев. Случай 1. Пусть Случай 2. Покажем, что утверждение верно для произведения любого числа элементарных матриц: а) б) Пусть утверждение верно для k множителей. Покажем, что тогда оно верно и для k+1 множителей.
Случай 3. Пусть теперь A и B – произвольные матрицы n -го порядка. Если Аналогично, если Пусть теперь
|
– элементарная матрица n -го порядка, т.е. получена из единичной одним из элементарных преобразований. По свойствам определителей, 
. По свойствам элементарных матриц матрицу 
можно получить из матрицы B тем же элементарным преобразованием, поэтому 
. Таким образом, в этом случае 
. Доказательство проведем, используя метод математической индукции:
верно в силу случая 1.
.
, то 
. По теореме о столбцовом пространстве произведения матриц 
. Поэтому 
, а значит, 
.
, то 
, а значит, 
и 
, т.е. обе матрицы невырожденные. Следовательно, по свойствам элементарных матриц, каждую из них можно представить в виде произведения элементарных матриц. Таким образом, применяя случай 2, 
и 
■
