Определитель произведения матриц.4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. Определитель произведения матриц. Теорема. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц: Доказательство разобьем на несколько случаев. Случай 1. Пусть – элементарная матрица n -го порядка, т.е. получена из единичной одним из элементарных преобразований. По свойствам определителей, . По свойствам элементарных матриц матрицу можно получить из матрицы B тем же элементарным преобразованием, поэтому . Таким образом, в этом случае . Случай 2. Покажем, что утверждение верно для произведения любого числа элементарных матриц: . Доказательство проведем, используя метод математической индукции: а) верно в силу случая 1. б) Пусть утверждение верно для k множителей. Покажем, что тогда оно верно и для k+1 множителей. . Случай 3. Пусть теперь A и B – произвольные матрицы n -го порядка. Если , то . По теореме о столбцовом пространстве произведения матриц . Поэтому , а значит, . Аналогично, если , то , а значит, и . Пусть теперь , т.е. обе матрицы невырожденные. Следовательно, по свойствам элементарных матриц, каждую из них можно представить в виде произведения элементарных матриц. Таким образом, применяя случай 2, и ■
|