Ток при замыкании и размыкании цепи

Ток при замыкании и размыкании цепи

 

По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие в проводниках вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы воспрепятствовать изменениям тока, текущего в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.

Найдем сначала характер изменения тока при размыкании цепи. Пусть в цепь с не зависящей от I индуктивностью L и сопротивлением R включен источник тока, имеющий э. д. с. ε;.

 

Рисунок 1 – Схема

Под действием этой э. д. с. в цепи будет течь постоянный ток

. (1)

 

В момент времени t = 0 отключим источник тока, замкнув одновременно цепь накоротко переключателем П. Как только сила тока в цепи станет убывать, возникнет э. д. с. самоиндукции. Следовательно, после отключения источника э. д. с. сила тока в цепи будет в соответствии с законом Ома удовлетворять уравнению

.

 

Перепишем это выражение так:

 

. (2)

 

Уравнение (2) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Его легко проинтегрировать, разделив переменные, т. е. записав в виде

 

.

 

В результате получим следующее выражение для тока

 

. (3)

 

Итак, после отключения источника э. д. с. сила тока в цепи не обращается мгновенно в нуль, а убывает по экспоненциальному закону. Скорость убывания определяется имеющей размерность времени величиной

 

, (4)

 

которую называют постоянной времени цепи.

В соответствии с этой формулой τ; есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз. Из соотношения (4) видно, что чем больше индуктивность цепи L и меньше ее сопротивление R, тем больше постоянная времени τ; и тем медленнее спадает ток в цепи.

Теперь рассмотрим случай замыкания цепи. После подключения к источнику тока, до тех пор, пока сила тока не примет установившегося значения, в цепи кроме э. д. с. ε; будет действовать э. д. с. самоиндукции. Следовательно, в соответствии с законом Ома можно написать, что

Преобразуем это уравнение к следующему виду:

 

. (5)

 

Мы пришли к линейному неоднородному уравнению, которое отличается от уравнения (2) лишь тем, что в правой части вместо нуля в нем стоит постоянная величина ε/L. Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение линейного неоднородного уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид (3). Легко убедиться в том, что представляет собой частное решение уравнения (5). Следовательно, общее решение уравнения (5) можно написать следующим образом:

. (6)

 

Функция (6) описывает нарастание тока в цепи после подключения к ней источника э. д. с.