Дифференциальные уравнения движения Эйлера

 

Рассмотрим установившийся поток идеальной жидкости. Как уже говорилось, она не обладает вязкостью, т. е. движется без трения.

Как и при выводе дифференциальных уравнений равновесия Эйлера, выделим в потоке элементарный параллелепипед объемом dV = dx dy dz, ориентированный относительно осей координат (см. рис. 2).

Проекции на оси координат сил тяжести и давления, действующих на параллелепипед, составляют;

для оси х,

для оси у

для оси z

Согласно основному принципу динамики, сумма проекций сил, действующих на движущийся элементарный объем жидкости, равна произведению массы жидкости на ее ускорение.

Масса жидкости в объеме параллелепипеда

Если жидкость движется со скоростью w, то ее ускорение равно , а проекции ускорения на оси координат: , и , где w_x, w_y и w_z – составляющие скорости вдоль осей х, у и z. Разумеется, при этом соответствующие производные по времени не означают изменений во времени составляющих скорости в какой-либо фиксированной точке пространства. Такие изменения , и равны нулю в рассматриваемом случае установившегося потока. Производные же , и , отвечают изменению во времени значений w_x, w_y и w_z при перемещении частицы жидкости из одной точки пространства в другую (наблюдатель в данном случае связан с движущейся частицей потока). В соответствии с основным принципом динамики

или после сокращения

(46)

где, согласно уравнению (28a), приведенному на стр. 40, субстанциональные производные соответствующих составляющих скорости равны

(47)

Система уравнений (46) с учетом выражений (47) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для установившегося потока.

При неустановившемся движении скорость жидкости изменяется не только при перемещении частицы потока из одной точки пространства в другую, но и с течением времени в каждой точке. Поэтому, в соответствии с уравнением (28), составляющие ускорения в уравнении (46), выражаемые субстанциональными производными для неустановившихся условий, имеют вид:

(47)

Система уравнений (46) с учетом выражений (47а) представляв собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для неустановившегося потока.