Закон Стокса

Распределение скоростей и расход жидкости при установившемся ламинарном потоке. В случае ламинарного движения вязкой жидкости в прямой трубе круглого сечения всю жидкость можно мысленно разбить на ряд кольцевых слоев, соосных с трубой (рис. 1, а).

Вследствие действия между слоями сил трения слои будут двигаться с неодинаковыми скоростями. Центральный цилиндрический слой у оси трубы имеет максимальную скорость, но, по мере удаления от оси, скорость элементарных кольцевых слоев будет уменьшаться. Непосредственно у стенки жидкость как бы «прилипает» к стенке, и ее скорость здесь обращается в нуль.

 

 

Рис. 1. К определению распределения скоростей и расхода жидкости при ламинарном движении

 

Выделим в потоке жидкости, ламинарно движущемся по трубе радиусом R (рис. 1, б), цилиндрический слой длиной l и радиусом r.

Движение слоя происходит под действием разности сил давления Р₁ и P₂ с обеих торцовых сторон цилиндра;

где p₁, p₂ – гидростатические давления в сечениях 1–1 и 2–2.

Движению цилиндра оказывает сопротивление сила внутреннего трения Т, для которой справедливо выражение

где w_r – скорость движения жидкости вдоль оси цилиндра на расстоянии r от оси; F = – наружная поверхность цилиндра; m – вязкость жидкости.

Знак минус указывает на убывание скорости с увеличением радиуса r (при r = R величина w_x = 0).

При установившемся движении разность сил давления P₁ – Р₂ затрачивается на преодоление силы трения T, и сумма проекций всех этих сил на ось потока должна быть равна нулю. Вследствие трения движение рассматриваемого цилиндрического слоя тормозится, значит, сила трения, приложенная к его боковой поверхности, направлена противоположно разности P₁ - Р₂ и проектируется на ось, направление которой совпадает с направлением движения, со знаком минус. Следовательно

или

откуда, после сокращения и разделения переменных, получим

Переходя ко всему объему жидкости в трубе, проинтегрируем это дифференциальное уравнение, учитывая, что радиус в левой части уравнения изменяется от r до r = R, а переменная скорость в правой части — от w = w_r до w = 0 (у стенки, где r = R).

Тогда

(30)

Скорость имеет максимальное значение на оси трубы, где r = 0:

(30а)

Сопоставляя выражения (30) и (30а), находим

(31)

Уравнение (31) представляет собой закон Стокса, выражающий параболическое распределение скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении.