Уравнение Пуазейля
Для определения расхода жидкости при ламинарном движении рассмотрим элементарное кольцевое сечение (рис. 1, б) с внутренним радиусом r и внешним радиусом (r + dr), площадь которого равна dS = 2prdr. Объемный расход жидкости через это сечение составляет
или с учетом уравнения (30)
Интегрируя последнее уравнение, получим общий расход жидкости через трубу:
Подставляя вместо R диаметр трубы d = 2R и обозначая (р1 — р2) = Dр, окончательно находим
Уравнение (3) или (4), определяющее расход жидкости при ее ламинарном движении по круглой прямой трубе, носит название уравнения Пуазейля. Соотношение между средней скоростью w и максимальной скоростью wmax можно получить, сопоставив значение Q из уравнений расхода:
откуда
Сравнивая уравнения (5) и (6), находим
Таким образом, при ламинарном потоке в трубе средняя скорость жидкости равна половине скорости по оси трубы. Соответственно параболический закон распределения скоростей по сечению трубы может быть представлен в виде
Этот закон, выведенный теоретически, хорошо подтверждается эпюрами скоростей, полученными опытным путем (рис. 2, а). При турбулентном движении из-за хаотического движения частиц происходит выравнивание скоростей в основной массе потока и их распределение по сечению трубы характеризуется кривой, отличающейся по форме от параболы на рис. 2, а; кривая имеет значительно более широкую вершину (рис. 2, б). Опыт показывает, что средняя скорость w при турбулентном движении не равна половине максимальной (как для ламинарного движения), а значительно больше, причем w/wmax = f (Re). Например, при Re = 104 скорость w» 0,8 wmax, а при Re = 108 скорость w» 0,9 wmax. В связи со сложным характером турбулентного движения не представляется возможным строго теоретически получить профиль распределения скоростей и значение w/wmax. Кроме того, при турбулентном потоке профиль скоростей (рис. 2, б) выражает распределение не истинных, а осредненных во времени скоростей.
Рис. 2. Распределение скоростей при различных режимах движения: а – ламинарный поток; б – турбулентный поток
|
, (1)
. (2)
. (3)
(4)
и 
(5)
. (6)
.
. (7)
