Уравнение Пуазейля

Соотношение между средней скоростью w и максимальной скоростью w_max можно получить, сопоставив значение Q из уравнений расхода:

и (5)

откуда

. (6)

Сравнивая уравнения (5) и (6), находим

.

Таким образом, при ламинарном потоке в трубе средняя скорость жидкости равна половине скорости по оси трубы.

Соответственно параболический закон распределения скоростей по сечению трубы может быть представлен в виде

. (7)

Этот закон, выведенный теоретически, хорошо подтверждается эпюрами скоростей, полученными опытным путем (рис. 2, а).

При турбулентном движении из-за хаотического движения частиц происходит выравнивание скоростей в основной массе потока и их распределение по сечению трубы характеризуется кривой, отличающейся по форме от параболы на рис. 2, а; кривая имеет значительно более широкую вершину (рис. 2, б).

Опыт показывает, что средняя скорость w при турбулентном движении не равна половине максимальной (как для ламинарного движения), а значительно больше, причем w/w_max = f (Re). Например, при Re = 10⁴ скорость w» 0,8 w_max, а при Re = 10⁸ скорость w» 0,9 w_max.

В связи со сложным характером турбулентного движения не представляется возможным строго теоретически получить профиль распределения скоростей и значение w/w_max. Кроме того, при турбулентном потоке профиль скоростей (рис. 2, б) выражает распределение не истинных, а осредненных во времени скоростей.

Рис. 2. Распределение скоростей при различных режимах движения:

а – ламинарный поток; б – турбулентный поток