Передача энергии по симметричной цепи с учётом потерь

Тема 5. Теория направляющих систем

При передаче энергии по НС потери в проводнике определяются радиальной составляющей вектора Пойтинга, которую формирует составляющие и .Мощность потока энергия для цилиндрического проводника определяется

,

откуда , (5.1)

где L – внутренняя индуктивность проводника, а R - его активное сопротивление.

Анализируем гармонические колебания в квазистационарном режиме, среда не содержит сторонних токов, токи смещения отсутствуют, т.е. .

Для определения составляющих поля необходимо воспользоваться уравнениями Максвелла:

; (5.2)

. (5.3)

Применим операцию к (4.2):

 

. (5.4)

Для любого вектора выполняется тождество

, (5.5)

где - оператор Лапласа.

Решение уравнений Максвелла для цилиндрического проводника целесообразно проводить в цилиндрической системе координат. Тогда

.

Учитывая отсутствие в системе сторонних токов, а следовательно и свободных зарядов, и .

Тогда (5.4) с учётом (5.3) примет вид:

. (5.6)

Полученное уравнение называется волновым. Обычно волновое уравнение решается для продольных составляющих поля и , которые дают возможность определить все шесть составляющих электромагнитного поля.

Распределение продольных составляющих поля вдоль линии представляется как . Тогда волновое уравнение примет вид

, (5.7)

где - поперечное волновое число, для Т – волн , т.е. , т.к. анализируется процесс распространения в металле, обозначим - волновое число для металла. Уравнение (5.7) – это уравнение частных в производных с разделяющимися переменными, его решение для металла имеет вид:

 

, (5.8)

Это выражение описывает структуру поля в поперечном сечении системы. Первый сомножитель определяет распределение поля в радиальном направлении, второй в азимутальном.

где A, B, C, D – постоянные интегрирования, - коэффициент вихревых токов для металла, и - модифицированные функции Бесселя n –го порядка второго рода. Постоянные интегрирования определяются из граничных условий на границе раздела сред металл / диэлектрик.

Так как поле внутри проводника возрастает от центра к периферии, а функция с увеличением аргумента уменьшается, необходимо принять . В силу симметричного расположения проводников относительно горизонтальной оси, нечётная функция должна обращаться в нуль, т.е. . Учитывая наличие бесконечного числа составляющих поля, получим для проводников

. (5.9)

Составляющую магнитного поля определим как

. (5.10)

определяются из граничных условий и закона полного тока. Функции Бесселя второго рода это функции комплексной переменной, представляются в виде суммы действительной и мнимой составляющих.

(5.11)

и аргумент этих функции имеет вид

т. к. .

Таким образом, полученные выражения и после подстановки их в (6.1) и разделения этого выражения на действительную и мнимую части позволяют получить аналитические выражения для R и L:

. (5.12)

где I – ток в цепи.

Далее необходимо в (6.12) подставить (6.9) и (6.10) и (6.11), произвести соответствующие преобразования.

Дальнейшие преобразования являются достаточно громадно, окончательные выражения для активного сопротивления и внутренней индуктивности принимают вид

(5.13)

, (5.14)

Внутренняя индуктивность симметричной цепи определяется выражением, Гн/км

где d – диаметр проводника, а – расстояние между ними (рис. 5.1), - сопротивление проводника по постоянному току. Функции I, F, H, G, Q определяются комбинациями функций Бесселя, их значения приведены в таблицах (см. приложение), , r– радиус проводника.

С учётом различных скруток в кабеле выражение для расчёта сопротивления симметричного кабеля имеет вид, Ом/км

. (5.15)

При парной скрутке , при звёздной – , при двойной парной - ; в зависимости от диаметра кабеля. На рис. 5.1 приведено распределение магнитного поля симметричной пары. Поля проводников а и б взаимодействуя между собой увеличивают сопротивление цепи.

 

Рис. 5.1 – Поле симметричной пары

 

Первое слагаемое в (5.15) определяет сопротивление цепи по постоянному току, второе – сопротивление вследствие поверхностного эффекта, а третье – сопротивление вследствие эффекта близости.