Возможные интерпретации системы аксиом

Тезис классического рационализма, согласно которому “аксиомы” некоторой системы, например аксиомы евклидовой геометрии, должны рассматриваться как непосредственно или интуитивно несомненные, как самоочевидные, здесь обсуждаться не будет. Упомяну лишь о том, что сам я не разделяю этого мнения. Я считаю допустимыми две различные интерпретации любой системы аксиом. Аксиомы можно рассматривать либо (1) как конвенции, либо (2) как эмпирические, или научные, гипотезы.

(1) Если аксиомы рассматриваются как конвенции, то они ограничивают использование или значение вводимых аксиомами фундаментальных идей (исходных терминов или понятий); они устанавливают, что можно, а чего нельзя говорить относительно этих фундаментальных идей. Иногда аксиомы рассматриваются как “неявные определения” тех объектов, которые они вводят. Такое понимание аксиом можно разъяснить с помощью аналогии между аксиоматической системой и (непротиворечивой и разрешимой) системой уравнений.

Действительно, допустимые значения “неизвестных” (или переменных), входящих в систему уравнений, так или иначе детерминируются ею. Даже если системы уравнений недостаточно для задания единственного решения, она не позволяет подставлять на место “неизвестных” (переменных) любую мыслимую комбинацию значений. Одни комбинации значений система уравнений характеризует как допустимые, другие – как недопустимые; она проводит различие между классом допустимых значений системы и классом недопустимых значений. Аналогичным образом системы понятий можно разделить на допустимые и недопустимые с помощью того, что можно назвать “высказыванием-уравнением”. Высказывание-уравнение получается из пропозициональной функции, или функции-высказывания (ср. выше, прим. 14), которая представляет собой неполное высказывание, имеющее одно или несколько “пустых мест”. Двумя примерами таких пропозициональных функций, или функций-высказываний, являются: “Изотоп элемента х имеет атомный вес 65” и “х+y=12”. Каждая такая пропозициональная функция превращается в высказывание благодаря подстановке определенных значений на пустые места – вместо х и у. Получающиеся в результате подстановки высказывания будут либо истинными, либо ложными в зависимости от подставляемых значений (или их комбинаций). Так, в первом примере подстановка слова “медь” или “цинк” вместо х дает истинное высказывание, в то время как другие подстановки дают ложные высказывания. То, что я называю “высказыванием-уравнением”, получается в том случае, когда для некоторой пропозициональной функции мы решаем допускать подстановку только таких значений, которые превращают эту функцию в истинное высказывание. Посредством такого высказывания-уравнения определяется некоторый класс допустимых значений системы, а именно класс тех значений, которые ей удовлетворяют. Аналогия с математическим уравнением здесь очевидна. Если наш второй пример интерпретировать не как пропозициональную функцию, а как высказывание-уравнение, то он становится уравнением в обычном (математическом) смысле.

Поскольку неопределяемые фундаментальные идеи или исходные термины можно рассматривать как пустые места, постольку аксиоматическая система оказывается системой пропозициональных функций. Однако если мы решаем допускать для подстановки только такие комбинаций значений, которые ей удовлетворяют, она превращается в систему высказываний-уравнений. В качестве таковой она неявно определяет класс (допустимых) систем понятий. Каждая система понятий, удовлетворяющая системе аксиом, может быть названа моделью этой системы аксиом.

Интерпретация аксиоматической системы как системы (конвенций или) неявных определений разнозначна принятию следующего решения: допустима подстановка в систему только моделей. В таком случае результатом подстановки будет система аналитических высказываний (так как она будет истинной по соглашению). Поэтому аксиоматическая система, интерпретированная таким образом, не может рассматриваться как система эмпирических, или научных, гипотез (в нашем смысле), так как ее нельзя опровергнуть посредством фальсификации ее следствий, которые также должны быть аналитическими.

(2) Каким же образом аксиоматическую систему можно интерпретировать как систему эмпирических, или научных, гипотез? Обычный ответ на этот вопрос состоит в том, что исходные термины аксиоматической системы нужно рассматривать не как неявно определенные, а как “внелогические константы”. Например, такие понятия, как “прямая” и “точка”, встречающиеся в каждой системе аксиом геометрии, можно интерпретировать как “световой луч” и “пересечение световых лучей”. При этом высказывания аксиоматической системы становятся высказываниями об эмпирических объектах, то есть синтетическими высказываниями.

На первый взгляд такое понимание может показаться вполне удовлетворительным. Однако оно приводит к трудностям, которые связаны с проблемой эмпирического базиса. Совершенно неясно, как можно эмпирически определить понятия. Обычно в этом случае говорят об “остенсивных определениях”, что означает, что определенное эмпирическое значение приписывается понятию посредством соотнесения его с некоторыми объектами, принадлежащими реальному миру. При этом понятие рассматривается как символ этих объектов. Однако очевидно, что посредством остенсивной ссылки на “реальные объекты” – скажем, посредством указания на определенную вещь и произнесения некоторого имени или посредством навешивания на вещь некоторого ярлыка – можно фиксировать только индивидуальные имена (или понятия). Но понятия, используемые в аксиоматической системе, должны быть универсальными именами, которые нельзя определить с помощью эмпирических признаков, указаний и т. п. Если их вообще можно определить, то сделать это можно с помощью других универсальных имен, в противном случае они останутся неопределяемыми. Таким образом, некоторые универсальные имена должны остаться неопределяемыми, и в этом кроется трудность. Эти неопределяемые понятия всегда могут быть использованы в неэмпирическом смысле, описанном нами в (1), то есть так как если бы они были неявно определяемыми понятиями. Однако такое использование неизбежно должно разрушить эмпирический характер системы. Я думаю, что эту трудность можно преодолеть лишь посредством некоторого методологического решения. Я буду следовать правилу не использовать неопределяемых понятий, которым даются только неявные определения. (Этот вопрос будет обсуждаться далее в разд. 20.)

Следует, по-видимому, добавить, что исходные понятия некоторой аксиоматической системы, такой, как геометрия, могут быть интерпретированы с помощью понятий другой системы, например физики. Эта возможность приобретает особое значение тогда, когда в ходе развития науки одна система высказываний объясняется посредством новой и более общей системы гипотез, которая позволяет дедуцировать не только высказывания первой системы, но и высказывания, принадлежащие другим системам. В таких случаях фундаментальные понятия новой системы можно определить с помощью понятий, которые первоначально были использованы в старых системах.