Потенциальное поле, условие потенциальности в односвязной области на плоскости. Связь с независимостью криволинейного интеграла от пути интегрирования

] существует гладкая поверхность S n=n(M) McS n(M)-непрерывная единичная нормаль |n|=1 для любой McS DcR3 ScD

Предположим, что в D наблюдается течение,установившееся(стационарное) движение, не сжимаемой жидкости. V(x,y,z) – скорость в каждой точки. V(x,y,z)=P(x,y,z)*i+Q(x,y,z)*j+R(x,y,z)*k

P,Q,R - непрерывны в области D. Требуется найти поток жидкости через поверхность S в направлении нормали n(M), т.е. определить V жидкости, протекающий за единицу времени,

через поверхность S в направлении нормали n(M). V-const S-плоская П= V=Sосн*h Vi=ΔSi*h

Vi ≈ n=1Σ∞ΔSi*h=n* n=1Σ∞ΔSi |V|=V(длина V) n=V*sinφ=V*cos(п/2 -φ)=(V,n)=>П=V=S*(V,n) S*(V,n)= П

Поток n(M)(λ→0) S=i=1UnΔSi для любого ΔSiсMi Mi(xi,yi,zi) Пi-поток жидкости через ΔSi П= n=1Σ∞Пi.Для нахождения Пi,заменим поверхность ΔSi частично касательной плоскостью к поверх S,проходящей через Mi. В качестве ΔЪi возьмём проекцию ΔSi на касательную плос-ть в Mi. Такую замену в приближённом варианте можно сделать, т.к касательная плоск-ть тесно прилегает к повер-ти в окрестности т.касания.Поскольку U(cкорость) непрерывна на S,то по св-ву непрерыв ф-ций U(M)=U(x,y,z)=U(Mi). Поэтому для нахождения Пi≈ΔЪi*(V(Mi),ni) для любого i=1..n, т.к. n(M) ≈n(Mi) =ni для любого Мс ΔSi,т.е.)можно считать постоянной на ΔSi

ΔЪi≈ ΔSi равенство тем точнее, чем < λ=> Пi≈(V(Mi),ni) ΔSi=> П= n=1Σ∞Пi= n=1Σ∞(V(Mi),ni) ΔSi=>П= n=1Σ∞(U(Mi),ni)* ΔSi.Равенство тем точнее,чем меньше λ-ранг разбиения.П=limλ→0 n=1Σ∞(U(Mi),n(Mi))* ΔSi. U(Mi),n(Mi) непрерыв на S=>сущ конеч limλ→0 n=1Σ∞(U(Mi),n(Mi))* ΔSi и поэтому П=SSs(U(x,y,z),n(x,y,z)ds.Такие интегралы от скалярного произвед (U,n) наз-ся поверх-ым интегралом 2 рода. SSs(P(x,y,z)dydz+Y(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy.

] Ф(М)=Pi+Qj+Rk-непрерыв векторное поле.ScD,S-гладкая,двусторонная. SSs(Ф,n)ds-ПИ 2-ого рода от поля Ф.Теорема сущ: ] Ф(М)-непрерывна,S-гладкая=>сущ ПИ 2-ого рода.

 

Формула вычисления криволинейного интеграла 2-го рода. Пример.

Если кривая Г гладкая и задана уравнением x=x(t) y=y(t) z=z(t) tc[a,b], а функции P,Q,R непрерывны в области D, то ∫P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)=

_a∫^b[P(x(t),y(t),z(t))*x’(t)+Q(x(t),y(t),z(t))*y’(t)+R(x(t),y(t),z(t))*z’(t))]dt

dx(t)=x(t)dt.

Замечание: В плоском случает (ф(х,у)=P_i+Q_i) формула примет вид то ∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy= _a∫^b[P(x(t),y(t))*х’(t))+Q(x(t),y(t))*y’(t)]dt

Пример:

∫(y-1)dx+xydy=₀∫² ((x²-1)+x*x²*2x)dx=₀∫²(x²+

2x-1)dx

Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования(док).

Формула Грина: ] функции P(x,y),Q(x,y) непрерывны в области D вместе со своими частными производными. Контур С лежит в области Dвместе со своей внутренностью. Контур С является границей компакта Ъ, при чём на С выбрано положительное направление обхода контура, т.е. при обходе контура С, его внутренность остаётся локально слева, тогда криволинейный интеграл по контуру: _С∫Pdx+Qdy= _Ъ∫∫ (ðQ/ðx)-(ðP/ðy)dxdy

Независимость: ∫Pdx+Qdy+Rdz(P,Q,R непрерывны в D) Г называется независящим от пути ин-я в этой области, если для любых 2-х кривых Г₁,Г₂ cD с общим началом и концом.

∫_Г1Pdx+Qdy+Rdz= ∫_Г2Pdx+Qdy+Rdz

∫_Г Pdx+Qdy не зависит от пути инт-я в D необходимо и достаточно чтобы для любого контура С из D ∫_с Pdx+Qdy=0

Док-во: необходимость: ] ∫_Г Pdx+Qdy не зависит от пути в области D ] С любой контур cD

A,B разбивают c на 2 кривых =>C= Г₁UГ₂, ∫_Г1Pdx+Qdy = ∫_Г2Pdx+Qdy т.к. интеграл не зависит от пути по определению => = ∫₁Pdx+Qdy= -∫_Г2Pdx+Qdy=> ∫_Г1Pdx+Qdy+ ∫_Г2Pdx+Qdy=0

∫_CPdx+Qdy по свойству аддитивности интервалов => ∫_cPdx+Qdy=0 ч.т.д.

достаточность: ] любое С cD ∫_CPdx+Qdy=0 док-м что ∫_сPdx+Qdy не зависит от выбора пути в обл-ти D. С=Г₁UГ₂ положительную ориентацию => тогда ∫_cPdx+Qdy=0=> ∫_г1UГ2Pdx+Qdy=0 => по свойству аддитив-ти

∫₁Pdx+Qdy+ ∫_Г2Pdx+Qdy=0

если изм-ть направление, то поменяется знак в интеграле ∫_Г1Pdx+Qdy-∫_Г2Pdx+Qdy=0=> ∫_Г1Pdx+Qdy=∫_Г2Pdx+Qdy=> интеграл не зависит от пути ч.т.д.

 

 

Потенциальное поле, условие потенциальности в односвязной области на плоскости. Связь с независимостью криволинейного интеграла от пути интегрирования

(док). ≈

Опред-е: Поле Ф называется потенциальным в D, если существует непрерывно диффир. фун-я U(x,y,z): dU=(ðu/ðx)dx+(ðu/ðy)dy+(ðu/ðz)dz=Pdx+Qdy+Rdz,т.е ðu/ðx=P ðu/ðy=Q ðu/ðz=R U(x,y,z) –потенциал поля Ф

Опред-е: Область DcR³, она наз-ся односвязной, если для любого С-замкнутого контура из D, существует повер-ть ScD, такая что граница S совпадает с контуром С.

Опред-е: Ротором векторного поля Ф (rotФ) наз-ся функция: | i j k |

Ф = | ð/ðx ð/ðy ð/ðz| =

| P Q R |

 

= i(ðR/ðy- ðQ/ðz) – j(ðR/ðx- ðP/ðz) + k(ðQ/ðx - ðP/ðy)

Теоремка: Если Ф(x,y)=Pi+Qi для того чтобы поле Ф было потенциальным в односвязной DcR² необходимо и достаточно: P и Q имеют непрерывные частные производные при этом потенциал поля интеграл _(XoYo)∫^(x,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=U(x,y),где (x_o y_o­)сD а (x,y) конец кривой. От формы кривой не зависит.

Док-во: Док-м частично, если поле потенциально, то условие должно быть выполнено ðu/ðx=P ðu/ðy=Q => ðP/ðy=ð²U/ðxðy ðQ/ðх=ð²U/ðxðy

1 2

1=2=>условие ðP/ðy = ðQ/ðх выполнено

 

Поле Ф=Pi+Qi+Ri потенциально в односвязной обл-ти D ó(н и д) rotФ=0

 

] D-односвязная об-ть в R³ для того чтобы

_Г∫(Ф, dr) не зависит от пути в D необх и достат-но rotФ=0