Криволинейный интеграл l-го рода, его механический смысл. Вычисление, пример.
т. Мо- материальная точка кривой; Δl длина и дуга кривой, которой принадлежит т. М0; Δm –масса кусочка Δl Если существует конечный limΔl->0Δm/ Δl=j(М0) [М0 cΔl]он наз-ся линейной плотностью кривой в М0. Будем полагать, что известно j(М0)-непрерывная функция(m ищем по плоскости). Разобьём кривую l последовательностью А0 А1,… Аn на каждой из малых дуг (Аi-1 Аi) c Mi(xi yi zi)i=1…n j(М) непрерывна Из определения линейной плотности вытекает что в случае однородной материальной кривой m=l* j0 j0-постоянная,т.к. j(М)= limΔl->0Δm/ Δl Обозначим Δmi дуги Аi-1 Аi, , m=i=1Σn Δmi Будем считать. Что Аi-1 Аi настолько малы, что j(М)= j(Мi)это приближенное равенство тем точнее, чем меньше дуга Аi-1 Аi(это достигается увеличением числа точек Аn), поэтому обоз-в Δli длину Аi-1 Аi можем восп-ся m=l* j0 => m= Δli* j(Мi). Тогда m = i=1Σn j(Мi)* Δli обозначим λ=мах i=1(diam Аi-1 Аi) – ранг разбиения кривой n→∞,если λ→0, то длина Аi-1 Аi→0. Если существует конечный limλ→0 i=1Σn j(Мi)* Δli=m. j(М) = j(x,y,z) в кач-ве jможем взять любую фун-ию заданную кривой j. Составим интегральную сумму и рассмотрим её предел при λ→0, если он существует и конечен и не зависит ни от способа разбиения кривой Г, ни от способа выбора т Мi, то он наз-ся криволинейным 1-ого рода от фун-ии Г и обоз-ся: Г∫ j(М)dl = Г∫ j(x,y,z)dl Теорема существования: ] кривая Г задана параметрически (x(t),y(t),z(t)) – непрер диффир) Тогда j(М) непрер на Г, то существ Г∫ j(М)dl. Формула для вычисления интеграла 1-ого рода. При выполнении условий теор существ мб доказана след формула: Г∫ j(М)dl= a∫b j(x(t),y(t),z(t))*√ ((x’(t))2, (y’(t))2, (z’(t))2)dt Пример: ] Г задана ур-ями x=a*cost y=asint z=t t[0,2п] Г мат крив и имеет плот-ть j(x,y,z)=z+1 m= Г∫ (z+1)dl = 0∫2п((t+1)√a2sin2t+a2cos2t+1)dt =√a2+10∫2п((t+1)dt=t2/2+t 0|2п=2п(2п+1)√a2+1
5. Поверхностный интеграл 1-го рода, его механический смысл. Вычисление. Те- Обозначим m-массу материальной пов-ти S Будем считать, что из-тна j(M) в каждой т M M0 cS ΔS → M0. diam ΔS обозначим Δm-массу кусочка ΔS ΔS=Δm/ ΔS Если существует конечный lim Δm/ ΔS {M0 cS, diam ΔS->0} –наз-ся плотностью =j(M0) j(M)-непрер на S. Заметим, что в случае однородности повер-ти m=j0*S j0 – плоскость. Разобьём поверхность S=U1Si. В каждом ΔSi берем точки Mi ΔSi-> Mi(xi yi zi)i=1…n Из непрерывности j(М) =>что j(М) j(Мi) для любого М с j(M0), если diam ΔSi мал. Равенство тем точнее, чем меньше diam ΔSi λ=max(diam ΔSi) –ранг разбиения поверхности. Обозначим Δmi – масса ΔSi =>можно применить в приближенном варианте формулу m=j0*S. Δmi = j(Mi)* ΔSi=> m= i=1Σn Δmi = i=1Σn j(Mi)* ΔSi. Это равенство тем точнее, чем меньше λ. Поэтому естественно считать, что m= limλ→0 i=1Σn j(Мi)*ΔSi Если j(М)-произвольная функция, заданная на поверхности S и существует конечный limλ→0 i=1Σn j(Мi)*ΔSi и он не зависит ни от способа разбиения ни от способа выбора т. Mi, то он наз-ся поверхностным интегралом первого рода по поверхности S и обоз-ся ∫∫S j(М)ds. Вычисление: S: z=φ(x,y)-непрер диффир в Ъ x=x y=y ∫∫S j(x,y,z)ds=∫∫Ъ j(x,y, φ(x,y))* √1+ (φx’(x,y))2+(φy’(x,y))2 dxdy Теорема существования: S-гладкая поверхность. ПИ 1рода существует, если j(M)-непрерывна на S. Вычисление поверхностного интеграла 2-города. S: z= φ(x,y)-непрер диффир в Ъ тогда z- φ(x,y)=0 F(x,y,z)=0 grad(F(x,y,z))= (ðF/ ðx)i-(ðF/ ðy)j+(ðF/ ðz)k=-(ðφ / ðx)i-(ðφ/ ðy)j+1k≠0=> grad направлен по нормали поверхности n(M)=gradF(M)/| gradF(M)|=(-φxi—φyi+k)/(√ (φ’x)2+(φ’y)2+1) Найдём ∫∫sPdydz+Qdxdz+Rdxdy по поверхности,которую определяет n(m). ∫∫sPdydz+Qdxdz+Rdxdy=∫∫s(Ф,—φyi+k)/(√ (φ’x)2+(φ’y)2+1)ds=∫∫ъ(Ф,—φyi+k)/(√ (φ’x)2+(φ’y)2+1)* (√ (φ’x)2+(φ’y)2+1)dxdy =∫∫ъ[(-P* φ’x – Q*φ’y+R)]dxdy=∫∫S Pdydz +Qdxdz +Rdxdy Дивергенция векторного поля, Формула Остроградского-Гаусса. Пример. Дивергенция поля Ф (div Ф) = ðP/ðx+ðQ/ðy+ðR/ðz.если div Ф=0,то Ф –соиедальное поле=>в D нет источников и стоков. Формула О-Г: ] V-компакт cR3,граница v=S-гладкая или кусочно гладкая(т.е S можно разбить на конечное число поверхностей, каждая из которых гладкая),на S выбрано внешнее направление нормали, Ф(x,y,z)=Pi+Qj+Rk- непрерыв.диффир=> ∫∫s(Ф,n)ds=∫∫∫v[ðP/ðx+ðQ/ðy+ðR/ðz]dv, ∫∫s(Ф,n)ds=∫∫∫vdivФdxdydz. Пример: Ф(x,y,z)=-yi+(y-2z)j+(2x-z)k. п=∫∫s(Ф,n)ds=∫∫∫vdivФdxdydz=∫∫∫v0dxdydz=0.divФ=0 Ротор векторного поля, формула Стокса. ] Ф в D и непрерыв-диффирен,тогда ∫LPdx+Qdy+Rdz=∫∫s(rotФ,n)ds.На L выбрано + направление обхода. Опред-е: Ротером векторного поля Ф (rotФ) наз-ся функция: | i j k | Ф = | ð/ðx ð/ðy ð/ðz| = | P Q R |
= i(ðR/ðy- ðQ/ðz) – j(ðR/ðx- ðP/ðz) + k(ðQ/ðx - ðP/ðy) Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Примеры. Необходимое условие
|