Линейные дифференциальные уравнения l-го порядка. Пример. Уравнения в полных дифференциалах. Пример.
y’=P(x)y +Q(x) Q(x) ≡0 y’=P(x)y – однородное линейное уравнение y’=P(x)y - уравнениями с разделяющимися переменными ó dy/dx= P(x)y ||dx/y y ≡0 dy/y= P(x)dx далее интегрируем ∫dy/y=∫P(x)dx =>ln|y|=∫P(x)dx+C далее потенцируем: |y|=e∫P(x)dx+C=e∫P(x)dx *eC{=C1>0} y= e∫P(x)dx+/-C1{=C’≠0 }=C’* e∫P(x)dx=y(x) Пример: y’=y+2 P(x)=1 Q(x)=2 y’=y ó y(x)=c*ex Будем искать решение в виде y(x) = z(x)ex y’=z’ex+z* ex= z* ex+2 ó z’ex=2 => z’=2* e-x=>z(x)= ∫ z’(x)dx= 2*(e-x/(-1))+C= -2 *e-x+C=>y(x)=(-2* e-x+C) ex= -2+C* ex Уравнения в полных дифференциалах: Дифференциальные уравнения y’=f(x,y) мб записаны в виде P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) т.к P(x,y)+Q(x,y) dy/dx=0 ó y’= - ((P(x,y))/(Q(x,y))) {=f(x,y)} y’=f(x,y) ó dy/dx=f(x,y) ó 1dy – f(x,y)dx=0 Определение: Уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если существует непрерывно дифференцируемая функция Q(x,y),такая что dU=Pdx+Qdy,т.е. U(x,y) - не является потенциалом поля с координатами (P (x,y) Q(x,y)) Пример????? 25. Дифференциальные уравнения 2-го порядка.' Основные определения, теореме, F(x,y,y’,y’’)=0 (1) Оно называется разрешённым, если y’’=f(x,y,y’) – (2) y’’=g y’=∫y’’(x)dx +C1 = gx+ C1=>y(x)= ∫y’(x)dx +C2=∫(g*x+ C1)dx+ C2=g*(x2/2)+ C1*x+ C2 Начальные условия: y(x0)=y0 (4) y’(x0)=y’0 Теорема существования и единственности: Если функция f(x,y,y’) и её частные производные ðf/ðy(x,y,y’), ðf/ðy’(x,y,y’) – непрерывны в области GcR3, то для любых точек (x0,y0,y0’)сG существует единственное решение уравнения (2) удовлетворяющее начальным условиям (3). Такая область G называется областью существования и единственности.
26. Теорема об общем решении однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Теорема об общем решении неoднородного линейного диффе- Определение: уравнение A0*(x)y’’ + A1*(x)y’+ A2*(x)y=F(x) - называется линейным дифференциальным уравнением 2-ого порядка Теорема об общем решении ОЛДУ: Если y1(x) и y2(x) образуют фер для однородного ЛДУ y’’+a1(x)*y’+a2(x)y=0 (1) можно записать в виде y(x)=C1*y1(x)+ C2*y2(x) Теорема об общем решении неоднородного ЛДУ: Если y(x) –частное решение y’’+a1(x)*y’+a2(x)y=f(x) (2) и y1(x) и y2(x) образуют фер соответственно однородного (1), то общее решение уравнения (2) запишем в виде y(x)=y(x)+ C1*y1(x)+ C2*y2(x)
27. Однородные линейные дифференциальные уравнения 2~гo порядка с постоян-ными коэффициентами. Пример. Рассмотрим когда a1(x) ≡p(p=consx) a2(x) ≡q(q=consx) в уравнении y’’+a1(x)*y’+a2(x)y=0 Тогда оно примет вид: y’’+p*y’+q*y=0 (1) Пример: y=ekx, тогда y’=k* ekx; y’’=k2* ekx Подставим в уравнение (1) k2* ekx+p* ekx+q* ekx=0 || ekx k2+p*k+q=0 Если по решению k1, k2сR u (k1≠k2) то y1(x)= ek1x y2(x)= ek2x решение уравнения (1)
Поток векторного поля через поверхность, поверхностный ] существует гладкая поверхность S n=n(M) McS n(M)-непрерывная единичная нормаль |n|=1 для любой McS DcR3 ScD Предположим, что в D наблюдается течение,установившееся(стационарное) движение, не сжимаемой жидкости. V(x,y,z) – скорость в каждой точки. V(x,y,z)=P(x,y,z)*i+Q(x,y,z)*j+R(x,y,z)*k P,Q,R - непрерывны в области D. Требуется найти поток жидкости через поверхность S в направлении нормали n(M), т.е. определить V жидкости, протекающий за единицу времени, через поверхность S в направлении нормали n(M). V-const S-плоская П= V=Sосн*h Vi=ΔSi*h Vi ≈ n=1Σ∞ΔSi*h=n* n=1Σ∞ΔSi |V|=V(длина V) n=V*sinφ=V*cos(п/2 -φ)=(V,n)=>П=V=S*(V,n) S*(V,n)= П Поток n(M)(λ→0) S=i=1UnΔSi для любого ΔSiсMi Mi(xi,yi,zi) Пi-поток жидкости через ΔSi П= n=1Σ∞Пi.Для нахождения Пi,заменим поверхность ΔSi частично касательной плоскостью к поверх S,проходящей через Mi. В качестве ΔЪi возьмём проекцию ΔSi на касательную плос-ть в Mi. Такую замену в приближённом варианте можно сделать, т.к касательная плоск-ть тесно прилегает к повер-ти в окрестности т.касания.Поскольку U(cкорость) непрерывна на S,то по св-ву непрерыв ф-ций U(M)=U(x,y,z)=U(Mi). Поэтому для нахождения Пi≈ΔЪi*(V(Mi),ni) для любого i=1..n, т.к. n(M) ≈n(Mi) =ni для любого Мс ΔSi,т.е.)можно считать постоянной на ΔSi ΔЪi≈ ΔSi равенство тем точнее, чем < λ=> Пi≈(V(Mi),ni) ΔSi=> П= n=1Σ∞Пi= n=1Σ∞(V(Mi),ni) ΔSi=>П= n=1Σ∞(U(Mi),ni)* ΔSi.Равенство тем точнее,чем меньше λ-ранг разбиения.П=limλ→0 n=1Σ∞(U(Mi),n(Mi))* ΔSi. U(Mi),n(Mi) непрерыв на S=>сущ конеч limλ→0 n=1Σ∞(U(Mi),n(Mi))* ΔSi и поэтому П=SSs(U(x,y,z),n(x,y,z)ds.Такие интегралы от скалярного произвед (U,n) наз-ся поверх-ым интегралом 2 рода. SSs(P(x,y,z)dydz+Y(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy. ] Ф(М)=Pi+Qj+Rk-непрерыв векторное поле.ScD,S-гладкая,двусторонная. SSs(Ф,n)ds-ПИ 2-ого рода от поля Ф.Теорема сущ: ] Ф(М)-непрерывна,S-гладкая=>сущ ПИ 2-ого рода.
|
