Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Сходимости (док).




] a1, a2… an –последов-ть чисел n=1Σan = a1+ a2+… +an (1) – ряд из an

Sn = a1+ a2+… +an – полная частная сумма ряда (1)

Если существует limn→∞ Sn= S –то ряд (1) наз-ся сходящимся и S = n=1Σan

Если не существует limn→∞ Sn= S –то ряд (1) наз-ся расходящимся и у него нет суммы.

Пример: Sn=1+1+…1 = n limn→∞ Sn= limn→∞n=∞=>расходится

Sn=0+0+…0 = 0 limn→∞ Sn= limn→∞0=0=>сходится

Необходимое условие

Сходимостиn→0.Док-во:рассмотрим Sn- Sn-1=(а1+….+аn)-( а1+….+аn-1)= аn limn→∞аn= limn→∞( Sn- Sn-1)= limn→∞Sn-limn→∞Sn-1=S-limm→∞Sm=S-S=0

Свойства числовых рядов (док).

1)если (1) сх-ся,0не=к=const,то сх-ся (2) n=1Σan*к=k*a1+ k*a2+ k*an,S= n=1Σan

Док-во Ъn –частная сумма ряда (2)

Ъn = k*a1+ k*a2+…+ k*an = k*(a1… an) = k*Sn limn→∞(k*Sn) = k*( limn→∞(Sn) = k*S=>(2) –сх-ся

n=1Σ(k*an) = k*n=1Σ(an)

Сх-ся (2) <=> Сх-ся (1)

2)(1) cх-ся и сх-ся n=1Σbn (3) =>сх-ся n=1Σ∞ (an+bn) (4)

3)Если (5) отличается от (1) на конечное число слагаемых, то (5) сх-ся ó (1),т.е если к (1) добавить конеч число слагаемых или убрать,то это не повлияет на сходимость

12.Признаки сходимости знакоположительных рядов (1 доказать). Пример.знакоположительный ряд – если аn>0.

1)Первый признак сравнения:] (1) и (2)-знакоположительны и an<=bn, из сх-ти (2)=> сх-ть (1) и также расходимость

2)Второй признак сравнения.Если (1) и (2)- знакополож и существует limn→∞ (an/bn)не=0,то (1)-сх-ся ó (2) сх-ся

3)Признак Даламбера. Если существует limn→∞ (an+1/an)=S для ряда (1) и S=<1 –cх-ся или >1→рас-ся.Если S = 1,то признак не даёт ответа.

4)Радикальный признак Коши.Если (1)-знакоположит и сущ limn→∞n√an=S.S= <1 –cx или >1 pacх

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница (док). Пример.

Опред: n=1Σan (1) –ряд наз-ся знакопеременным, если среди его членов есть как «+» так и «-» числа

Опред: Знакопеременный ряд (1) наз-ся значередующимся, если an- an-1<0 для любого ncN

U1- U2+ U3- U4…(2) Un >0

Если ряд (2) – знакочередующийся и Un ↓ => (Un+1 <= Un для любого n) Un→0 => (2) сход-ся S<= U1

Док-во РассмотримS2n=( U1- U2)+ ( U3- U4)+… ( U2n-1 - U2n) >=0 => S2n= U1(U2+ U3)( - U4 +U5) +…+ (-U2n-2 +U2n-1) - U2n <= U1 - U2n

Un→0 => U2n→0=> S2n<= U1 - U2n ó S2n + U2n <= U1 U2n<= M n limn→∞ U2n=0

limx→xof(x)=c =>f(x) огранич, т.е. |f(x)|<= M xc(xo-б, xo+б) xo=∞

ð S2n<= U1+M=> S2n→S(n→∞) S2n

S2n(n+1)>= S2n для любого n

ð limn→∞ S2n=S-конеч S>= U1

Пример: n=1Σ (-1)n-1/n= 1 – 1/2 +1/3 -1/4+…+(-1)n-1/n +…- Un=1/n→0(n→∞)

Un+1=1/(n+1)<1/n= Un для любого n

Un+1< Un, т.е. Un↓ =>сход-ся

Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Пример.

Для исследования на сходимость произвольных знакопеременных рядов полезна след теорема

Абсолютная сходимость ряда: n=1Σan = a1+ a2+… +an+ (1)

Если (1)- знакопеременный ряд и ряд n=1Σ|an| (2) –сход-ся, то ряд (1) тоже сх-ся и наз-ся абсолютносходящимся.

Замечание: Если знакопеременный ряд сход-ся, то это не значит, что он сход-ся абсолютно.

Такие ряды, которые сход-ся, но не сход-ся абсолютно наз-ся условно сходящимися.

Пример: n=1Σ (sin n)/n2 n=1Σ|(sin n)/n2|(применим 1-ый признак ср-я)

(sin n)/n2<=1/n2 n=1Σ1/n2 –сх-ся =>сход-ся по 1-ому признаку срав-я =>абсолютно сход-ся

Функциональные ряды и их свойства.

Опред:Ряд Un(x)=U1(x)+ U2(x)+…+ Un(x)+…(1) [a,b], такой ряд наз-ся функциональным рядом

Опред: ] [a,b]с хо, если сод-ся числовой ряд n=1Σ Un(xо), то будем говорить, что ряд (1) сход-ся в т. xо (xо-точка сход-ти ряда)

Множество всех точек сход-ти ряда(1) назовём областью сход-ти рядом

Опред: (1) наз-ся правильно сход-ся на [a,b], если для любого n выполнено нер-во Un(x) <=an для любогоxc[a,b], n=1Σan – сх-ся

Сва-ва правильно сход-ся рядов:

1) Если ряд (1) прав сход-ся на отрезке [a,b], то (1) абсолютно сход-ся для любого хоc[a,b]

2) Если ряд (1) прав сход-ся на отрезке [a,b] и его члены Un(x) – непрер на [a,b] => S(x)= n=1Σ Un(x) - непрер на [a,b]

3) Если ряд (1) прав сход-ся на отрезке [a,b], Un(x) - непрер на [a,b], то

ab S(x)dx= n=1Σ( ab Un(x)dx)

В этом случае говорят, что ряд можно почленно интегрировать.

4) (1) сход-ся на [a,b]. S(x), Un(x) – непрер диффир на интервале (a,b), n=1Σ Un’(x) – прав сход-ся на (a,b). Тогда существует S’(x)= n=1Σ Un’(x)(т.е возможно почленное диффир ряда) при чём S’(x) непрер на (a,b).

Степенные ряды, теорема Коши-Адамара (без д-ва), Пример. Теорема о правильной сходимости степенного ряда (док).

6) Определение: n=1ΣCn(x-a)n = Co +C1(x-a)+ C2(x-a)2+…+ Cn(x-a)n+…(1) – называется степенным рядом ac R, Cn c R-коэффициентами степенного ряда Теорема Коши - Адамара: Для каждого степенного ряда (1) существует R с [0, ∞],что выполнено 2 условия:

7) 1)Если |x-a| <R => (1)абсолютно сход-ся

8) 2) Если |x-a| >R => (1)расходится

9) Если существует limn→∞ n√ |an|=l,то R=1/l {l= limn→∞|(an+1)/an|}

10) Теорема о правильной сходимости степенного ряда:

11) R>0=>для любого фиксированного r:0<r<R,ряд правильно сх-ся на [a-r;a+r]

 

17. Непрерывность суммы степенного ряда, почленное интегрирование и диффе-
ренцирование степенного ряда (док) ..

S’(x)= n=1Σ∞(Cn(x-a)n)’= n=1ΣnCn(x-a)n-1 почленное диффир

R>0=>S(x) непрерывна в (а-R,а+R)

Док-во:сущест rc(0,R);x0c(a-r,a+r) и ряд правильно сходится на (a-r,a+r)=>S(x) непрер на (a-r,a+r),где S(x) непрер в R=>S(x) непрер в x0=>S(x) непрерывна


Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой





Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 302. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.02 сек.) русская версия | украинская версия
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7