Сходимости (док).] a1, a2… an –последов-ть чисел n=1Σ∞ an = a1+ a2+… +an (1) – ряд из an Sn = a1+ a2+… +an – полная частная сумма ряда (1) Если существует limn→∞ Sn= S –то ряд (1) наз-ся сходящимся и S = n=1Σ∞ an Если не существует limn→∞ Sn= S –то ряд (1) наз-ся расходящимся и у него нет суммы. Пример: Sn=1+1+…1 = n limn→∞ Sn= limn→∞n=∞=>расходится Sn=0+0+…0 = 0 limn→∞ Sn= limn→∞0=0=>сходится Необходимое условие Сходимости:аn→0.Док-во:рассмотрим Sn- Sn-1=(а1+….+аn)-(а1+….+аn-1)= аn limn→∞аn= limn→∞(Sn- Sn-1)= limn→∞Sn-limn→∞Sn-1=S-limm→∞Sm=S-S=0 Свойства числовых рядов (док). 1)если (1) сх-ся,0не=к=const,то сх-ся (2) n=1Σ∞ an*к=k*a1+ k*a2+ k*an,S= n=1Σ∞ an Док-во Ъn –частная сумма ряда (2) Ъn = k*a1+ k*a2+…+ k*an = k*(a1… an) = k*Sn limn→∞(k*Sn) = k*(limn→∞(Sn) = k*S=>(2) –сх-ся n=1Σ∞ (k*an) = k*n=1Σ∞ (an) Сх-ся (2) <=> Сх-ся (1) 2)(1) cх-ся и сх-ся n=1Σ∞ bn (3) =>сх-ся n=1Σ∞ (an+bn) (4) 3)Если (5) отличается от (1) на конечное число слагаемых, то (5) сх-ся ó (1),т.е если к (1) добавить конеч число слагаемых или убрать,то это не повлияет на сходимость 12.Признаки сходимости знакоположительных рядов (1 доказать). Пример. знакоположительный ряд – если аn>0. 1)Первый признак сравнения:] (1) и (2)-знакоположительны и an<=bn, из сх-ти (2)=> сх-ть (1) и также расходимость 2)Второй признак сравнения.Если (1) и (2)- знакополож и существует limn→∞ (an/bn)не=0,то (1)-сх-ся ó (2) сх-ся 3)Признак Даламбера. Если существует limn→∞ (an+1/an)=S для ряда (1) и S=<1 –cх-ся или >1→рас-ся.Если S = 1,то признак не даёт ответа. 4)Радикальный признак Коши.Если (1)-знакоположит и сущ limn→∞n√an=S.S= <1 –cx или >1 pacх Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница (док). Пример. Опред: n=1Σ∞ an (1) –ряд наз-ся знакопеременным, если среди его членов есть как «+» так и «-» числа Опред: Знакопеременный ряд (1) наз-ся значередующимся, если an- an-1<0 для любого ncN U1- U2+ U3- U4…(2) Un >0 Если ряд (2) – знакочередующийся и Un ↓ => (Un+1 <= Un для любого n) Un→0 => (2) сход-ся S<= U1 Док-во РассмотримS2n=(U1- U2)+ (U3- U4)+… (U2n-1 - U2n) >=0 => S2n= U1(U2+ U3)(- U4 +U5) +…+ (-U2n-2 +U2n-1) - U2n <= U1 - U2n Un→0 => U2n→0=> S2n<= U1 - U2n ó S2n + U2n <= U1 U2n<= M n limn→∞ U2n=0 limx→xof(x)=c =>f(x) огранич, т.е. |f(x)|<= M xc(xo-б, xo+б) xo=∞ ð S2n<= U1+M=> S2n→S(n→∞) S2n S2n(n+1)>= S2n для любого n ð limn→∞ S2n=S-конеч S>= U1 Пример: n=1Σ∞ (-1)n-1/n= 1 – 1/2 +1/3 -1/4+…+(-1)n-1/n +…- Un=1/n→0(n→∞) Un+1=1/(n+1)<1/n= Un для любого n Un+1< Un, т.е. Un↓ =>сход-ся Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Пример. Для исследования на сходимость произвольных знакопеременных рядов полезна след теорема Абсолютная сходимость ряда: n=1Σ∞ an = a1+ a2+… +an+ (1) Если (1)- знакопеременный ряд и ряд n=1Σ∞ |an| (2) –сход-ся, то ряд (1) тоже сх-ся и наз-ся абсолютносходящимся. Замечание: Если знакопеременный ряд сход-ся, то это не значит, что он сход-ся абсолютно. Такие ряды, которые сход-ся, но не сход-ся абсолютно наз-ся условно сходящимися. Пример: n=1Σ∞ (sin n)/n2 n=1Σ∞ |(sin n)/n2|(применим 1-ый признак ср-я) (sin n)/n2<=1/n2 n=1Σ∞ 1/n2 –сх-ся =>сход-ся по 1-ому признаку срав-я =>абсолютно сход-ся Функциональные ряды и их свойства. Опред:Ряд Un(x)=U1(x)+ U2(x)+…+ Un(x)+…(1) [a,b], такой ряд наз-ся функциональным рядом Опред: ] [a,b]с хо, если сод-ся числовой ряд n=1Σ∞ Un(xо), то будем говорить, что ряд (1) сход-ся в т. xо (xо-точка сход-ти ряда) Множество всех точек сход-ти ряда(1) назовём областью сход-ти рядом Опред: (1) наз-ся правильно сход-ся на [a,b], если для любого n выполнено нер-во Un(x) <=an для любогоxc[a,b], n=1Σ∞an – сх-ся Сва-ва правильно сход-ся рядов: 1) Если ряд (1) прав сход-ся на отрезке [a,b], то (1) абсолютно сход-ся для любого хоc[a,b] 2) Если ряд (1) прав сход-ся на отрезке [a,b] и его члены Un(x) – непрер на [a,b] => S(x)= n=1Σ∞ Un(x) - непрер на [a,b] 3) Если ряд (1) прав сход-ся на отрезке [a,b], Un(x) - непрер на [a,b], то a∫b S(x)dx= n=1Σ∞( a∫b Un(x)dx) В этом случае говорят, что ряд можно почленно интегрировать. 4) (1) сход-ся на [a,b]. S(x), Un(x) – непрер диффир на интервале (a,b), n=1Σ∞ Un’(x) – прав сход-ся на (a,b). Тогда существует S’(x)= n=1Σ∞ Un’(x)(т.е возможно почленное диффир ряда) при чём S’(x) непрер на (a,b). Степенные ряды, теорема Коши-Адамара (без д-ва), Пример. Теорема о правильной сходимости степенного ряда (док). 6) Определение: n=1Σ∞ Cn(x-a)n = Co +C1(x-a)+ C2(x-a)2+…+ Cn(x-a)n+…(1) – называется степенным рядом ac R, Cn c R-коэффициентами степенного ряда Теорема Коши - Адамара: Для каждого степенного ряда (1) существует R с [0, ∞],что выполнено 2 условия: 7) 1)Если |x-a| <R => (1)абсолютно сход-ся 8) 2) Если |x-a| >R => (1)расходится 9) Если существует limn→∞ n√ |an|=l,то R=1/l {l= limn→∞|(an+1)/an|} 10) Теорема о правильной сходимости степенного ряда: 11) R>0=>для любого фиксированного r:0<r<R,ряд правильно сх-ся на [a-r;a+r]
17. Непрерывность суммы степенного ряда, почленное интегрирование и диффе- S’(x)= n=1Σ∞(Cn(x-a)n)’= n=1Σ∞nCn(x-a)n-1 почленное диффир R>0=>S(x) непрерывна в (а-R,а+R) Док-во:сущест rc(0,R);x0c(a-r,a+r) и ряд правильно сходится на (a-r,a+r)=>S(x) непрер на (a-r,a+r),где S(x) непрер в R=>S(x) непрер в x0=>S(x) непрерывна
|
