Сходимости (док).

] a₁, a₂… a_n –последов-ть чисел _n=1Σ^∞ a_n = a₁+ a₂+… +a_n (1) – ряд из a_n

S_n = a₁+ a₂+… +a_n – полная частная сумма ряда (1)

Если существует lim_n→∞ S_n= S –то ряд (1) наз-ся сходящимся и S = _n=1Σ^∞ a_n

Если не существует lim_n→∞ S_n= S –то ряд (1) наз-ся расходящимся и у него нет суммы.

Пример: S_n=1+1+…1 = n lim_n→∞ S_n= lim_n→∞n=∞=>расходится

S_n=0+0+…0 = 0 lim_n→∞ S_n= lim_n→∞0=0=>сходится

Необходимое условие

Сходимости:а_n→0.Док-во:рассмотрим S_n- S_n-1=(а₁+….+а_n)-(а₁+….+а_n-1)= а_n lim_n→∞а_n= lim_n→∞(S_n- S_n-1)= lim_n→∞S_n-lim_n→∞S_n-1=S-lim_m→∞S_m=S-S=0

Свойства числовых рядов (док).

1)если (1) сх-ся,0не=к=const,то сх-ся (2) _n=1Σ^∞ a_n*к=k*a₁+ k*a₂+ k*a_n,S= _n=1Σ^∞ a_n

Док-во Ъ_n –частная сумма ряда (2)

Ъ_n = k*a₁+ k*a₂+…+ k*a_n = k*(a_1… a_n) = k*S_n lim_n→∞(k*S_n) = k*(lim_n→∞(S_n) = k*S=>(2) –сх-ся

_n=1Σ^∞ (k*a_n) = k*_n=1Σ^∞ (a_n)

Сх-ся (2) <=> Сх-ся (1)

2)(1) cх-ся и сх-ся _n=1Σ^∞ b_n (3) =>сх-ся _n=1Σ^{∞ (}a_n+b_n) (4)

3)Если (5) отличается от (1) на конечное число слагаемых, то (5) сх-ся ó (1),т.е если к (1) добавить конеч число слагаемых или убрать,то это не повлияет на сходимость

12.Признаки сходимости знакоположительных рядов (1 доказать). Пример. знакоположительный ряд – если а_n>0.

1)Первый признак сравнения:] (1) и (2)-знакоположительны и a_n<=b_n, из сх-ти (2)=> сх-ть (1) и также расходимость

2)Второй признак сравнения.Если (1) и (2)- знакополож и существует lim_n→∞ (a_n/b_n)не=0,то (1)-сх-ся ó (2) сх-ся

3)Признак Даламбера. Если существует lim_n→∞ (a_n+1/a_n)=S для ряда (1) и S=<1 –cх-ся или >1→рас-ся.Если S = 1,то признак не даёт ответа.

4)Радикальный признак Коши.Если (1)-знакоположит и сущ lim_n→∞ⁿ√a_n=S.S= <1 –cx или >1 pacх

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница (док). Пример.

Опред: _n=1Σ^∞ a_n (1) –ряд наз-ся знакопеременным, если среди его членов есть как «+» так и «-» числа

Опред: Знакопеременный ряд (1) наз-ся значередующимся, если a_n- a_n-1<0 для любого ncN

U₁- U₂+ U₃- U₄…(2) U_n >0

Если ряд (2) – знакочередующийся и U_n ↓ => (U_n+1 <= U_n для любого n) U_n→0 => (2) сход-ся S<= U₁

Док-во РассмотримS_2n=(U₁- U₂)+ (U₃- U₄)+… (U_2n-1 - U_2n) >=0 => S_2n= U₁(U₂+ U₃)(- U₄ +U₅) +…+ (-U_2n-2 +U_2n-1) - U_2n <= U₁ - U_2n

U_n→0 => U_2n→0=> S_2n<= U₁ - U_2n ó S_2n + U_2n <= U₁ U_2n<= M n lim_n→∞ U_2n=0

lim_x→xof(x)=c =>f(x) огранич, т.е. |f(x)|<= M xc(x_o-б, x_o+б) x_o=∞

ð S_2n<= U₁+M=> S_2n→S(n→∞) S_2n

S_2n(n+1)>= S_2n для любого n

ð lim_n→∞ S_2n=S-конеч S>= U₁

Пример: _n=1Σ^∞ (-1)^n-1/n= 1 – 1/2 +1/3 -1/4+…+(-1)^n-1/n +…- U_n=1/n→0(n→∞)

U_n+1=1/(n+1)<1/n= U_n для любого n

U_n+1< U_n, т.е. U_n↓ =>сход-ся

Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Пример.

Для исследования на сходимость произвольных знакопеременных рядов полезна след теорема

Абсолютная сходимость ряда: _n=1Σ^∞ a_n = a₁+ a₂+… +a_n+ (1)

Если (1)- знакопеременный ряд и ряд _n=1Σ^∞ |a_n| (2) –сход-ся, то ряд (1) тоже сх-ся и наз-ся абсолютносходящимся.

Замечание: Если знакопеременный ряд сход-ся, то это не значит, что он сход-ся абсолютно.

Такие ряды, которые сход-ся, но не сход-ся абсолютно наз-ся условно сходящимися.

Пример: _n=1Σ^∞ (sin n)/n² _n=1Σ^∞ |(sin n)/n²|(применим 1-ый признак ср-я)

(sin n)/n²<=1/n² _n=1Σ^∞ 1/n² –сх-ся =>сход-ся по 1-ому признаку срав-я =>абсолютно сход-ся

Функциональные ряды и их свойства.

Опред:Ряд U_n(x)=U₁(x)+ U₂(x)+…+ U_n(x)+…(1) [a,b], такой ряд наз-ся функциональным рядом

Опред: ] [a,b]с х_о, если сод-ся числовой ряд _n=1Σ^∞ U_n(x_о), то будем говорить, что ряд (1) сход-ся в т. x_о (x_о-точка сход-ти ряда)

Множество всех точек сход-ти ряда(1) назовём областью сход-ти рядом

Опред: (1) наз-ся правильно сход-ся на [a,b], если для любого n выполнено нер-во U_n(x) <=a_n для любогоxc[a,b], _n=1Σ^∞a_n – сх-ся

Сва-ва правильно сход-ся рядов:

1) Если ряд (1) прав сход-ся на отрезке [a,b], то (1) абсолютно сход-ся для любого х_оc[a,b]

2) Если ряд (1) прав сход-ся на отрезке [a,b] и его члены U_n(x) – непрер на [a,b] => S(x)= _n=1Σ^∞ U_n(x) - непрер на [a,b]

3) Если ряд (1) прав сход-ся на отрезке [a,b], U_n(x) - непрер на [a,b], то

_a∫^b S(x)dx= _n=1Σ^∞( _a∫^b U_n(x)dx)

В этом случае говорят, что ряд можно почленно интегрировать.

4) (1) сход-ся на [a,b]. S(x), U_n(x) – непрер диффир на интервале (a,b), _n=1Σ^∞ U_n’(x) – прав сход-ся на (a,b). Тогда существует S’(x)= _n=1Σ^∞ U_n’(x)(т.е возможно почленное диффир ряда) при чём S’(x) непрер на (a,b).

Степенные ряды, теорема Коши-Адамара (без д-ва), Пример. Теорема о правильной сходимости степенного ряда (док).

6) Определение: _n=1Σ^∞ C_n(x-a)ⁿ = C_o +C₁(x-a)+ C₂(x-a)²+…+ C_n(x-a)ⁿ+…(1) – называется степенным рядом ac R, C_n c R-коэффициентами степенного ряда Теорема Коши - Адамара: Для каждого степенного ряда (1) существует R с [0, ∞],что выполнено 2 условия:

7) 1)Если |x-a| <R => (1)абсолютно сход-ся

8) 2) Если |x-a| >R => (1)расходится

9) Если существует lim_n→∞ ⁿ√ |a_n|=l,то R=1/l {l= lim_n→∞|(a_n+1)/a_n|}

10) Теорема о правильной сходимости степенного ряда:

11) R>0=>для любого фиксированного r:0<r<R,ряд правильно сх-ся на [a-r;a+r]

 

17. Непрерывность суммы степенного ряда, почленное интегрирование и диффе-
ренцирование степенного ряда (док)..

S’(x)= _n=1Σ^∞(C_n(x-a)ⁿ)’= _n=1Σ^∞nC_n(x-a)^n-1 почленное диффир

R>0=>S(x) непрерывна в (а-R,а+R)

Док-во:сущест rc(0,R);x₀c(a-r,a+r) и ряд правильно сходится на (a-r,a+r)=>S(x) непрер на (a-r,a+r),где S(x) непрер в R=>S(x) непрер в x₀=>S(x) непрерывна