Проблема континуума и континуум-гипотеза

Проблема континуума задала одно из центральных направлений развития теории множеств, а континуум-гипотеза стала одной из наиболее привлекающих внимание математиков XX столетия задач. В списке важнейших математических проблем, представленных Д.Гильбертом в 1900 году на II Международном Конгрессе математиков в Париже, континуум-гипотеза стояла первой.

Канторовский подход к проблеме континуума, канторовская модель континуума как бы завершают то умственное движение, которое началось еще в XVII столетии с изобретением декартовской аналитической геометрии. Последняя выдвинула новый взгляд на геометрию. Вместо античного понимания этой науки, где созерцание играло принципиально неустранимую роль, Декарт предлагает некое исчисление отрезков, которое должно было в принципе решить все возможные геометрические задачи^[40]. Но тем острее вставала задача арифметизации геометрического пространства, сведения его к чисто числовой конструкции. Возникающее также в XVII столетии дифференциальное и интегральное исчисление рассматривали геометрические конструкции в “бесконечно-малом”^[41] и делали проблему арифметизации пространства еще более актуальной. Однако проблема эта не поддавалась рассмотрению почти три века. И только во второй половине XIX века появляются арифметические теории действительных чисел (Вейерштрасс, Дедекинд), существенно использующие актуальную бесконечность. Кантор, последовательно и настойчиво проводя программу сведения всей математики к теоретико-множественным конструкциям, завершает всю эту линию развития, обнаруживая вместе с тем и непреодолимые апории, к которым она приводит.

В вопросе о континууме Кантор был убежденным противником понимания его как некой данности, как некой априорной формы мышления (идеи ли, или в кантовском смысле, как априорной формы созерцания — безразлично). Кантору нужна была конструкция континуума; только она могла бы, с одной стороны, удовлетворить насущные нужды развивающейся математики, а с другой — вписаться в ту общефилософскую перспективу, в которой осознавал науку Кантор: понять — значит сконструировать. Поэтому создателя теории множеств не удовлетворяют концепции континуума у Аристотеля и Фомы Аквинского: обе они исходили из некой предзаданности идеи континуума, некого неразложимого созерцания. “Всякая арифметическая попытка определения этой тайны рассматривается как незаконное посягательство и с соответствующей энергией отвергается. Робкие натуры испытывают при этом впечатление, как если бы в вопросе о континууме речь шла не о математико-логическом понятии, а о каком-то религиозном догмате”^[42]. Кантор не был робкой натурой и вопреки тысячелетней традиции старался дать конструктивную модель континуума. Конечно, его не могла также удовлетворить и атомистическая модель, восходящая еще к Эпикуру и Лукрецию. Ко времени возникновения теории множеств концепция конечных атомов как элементов пространства считалась анахронизмом.

Вопрос, согласно Кантору, мог ставиться только в терминах теории множеств: если в арифметическом пространстве n измерений задано некоторое множество Р, то при каком условии его можно назвать континуумом? Кантора вдохновляли на этом пути некоторые полученные им результаты по разложению точечных множеств. Во-первых, это была теорема о равномощности всех n-мерных пространств. Значит, как бы^[43], все проблемы n-мерных множеств сводились к проблемам точечных множеств на прямой. Во-вторых, Кантор нашел некоторые множества, названные им совершенными, которые, казалось, выделяли существеннейшие свойства континуума. Примером канторовского совершенного множества может быть следующая конструкция:

Из сегмента [0; 1] на прямой мы выбрасываем среднюю треть: интервал (). Потом из оставшихся сегментов [0; ] и [; 1 ] мы также выбрасываем средние трети: интервалы (;) и (;). Далее из оставшихся сегментов мы опять выбрасываем средние трети и продолжаем этот процесс до бесконечности. То, что остается в результате^[44], называется канторовским совершенным множеством. Непосредственно видно, что множество получается очень “разреженным”, на первый взгляд, кажется даже, что в нем вообще ничего не остается. Но в то же время очевидно, что точки 0,,,, -, например, войдут в предельное множество. Более того, оказывается, это предельное множество будет несчетным, и его мощность будет равна мощности континуума, т.е. мощности точек на исходном сегменте [0; 1]. Канторовское совершенное множество обладает, кроме того, еще тем замечательным свойством, что каждая его точка является так называемой точкой конденсации. Это означает, что в любой окрестности этой точки содержится бесконечное несчетное множество других точек этого же совершенного множества. Это свойство, по Кантору, должно было как бы представить теоретико-множественную модель “плотности” континуума.

Для полного же описания свойств континуума важно еще одно свойство: связность. Множество Т связно, по Кантору, если любые две его точки можно соединить ломанной с вершинами, также принадлежащими этому множеству и с длинами звеньев меньше любого наперед заданного числа. “По моему мнению, — пишет Кантор, — эти два предиката — “совершенный” и “связный” — представляют собой необходимые и достаточные признаки континуума, и поэтому я определяю точечный континуум в G_n [в арифметическом n-мерном пространстве — В.К.] как совершенное связное множество. Здесь “совершенный” и “связный” — не просто слова, а вполне общие предикаты континуума, понятийно охарактеризованные самым строгим образом при помощи предыдущих определений”^[45]. Канторовские построения в теории точечных множеств оказали существенное влияние и на другие разделы математики, в частности топологию. Однако должно прямо признать, что:

1) канторовское определение континуума есть только некоторая частная модель континуума;

2) говоря о необходимых и достаточных признаках континуума, Кантор, вопреки своему желанию, признает, что имеет в виду некоторую интуицию континуума, вопрос о философском смысле которой остается открытым;

3) открытым, следовательно, остается и вопрос о соответствии интуиции континуума его конкретным моделям, в частности канторовской.

В этой же работе 1883 года “Основы общего учения о многообразиях”, из которой мы только что цитировали, Кантор объявляет, что надеется вскоре доказать, что мощность множества точек континуума в точности равна мощности так называемого второго числового класса. Это утверждение и называется континуум - гипотезой. По-другому это записывают обычно следующим образом:

2^Àо = À₁

Слева здесь стоит мощность стандартной числовой модели континуума, а À₁ представляет собой первое кардинальное число, следующее за Àо — мощностью счетного множества.

Канторовские надежды на быстрое доказательство этого результата оказались несостоятельными. Более того, переписка Кантора показывает, какие титанические усилия прилагал он для решения проблемы и какие сокрушительные разочарования, взлеты и падения пришлось ему здесь пережить, переходя — временами лишь в течение одного месяца — от полной уверенности в доказанности результата к обнаружению ошибки в доказательстве и потом — к такой же полной уверенности в ложности континуум-гипотезы... Некоторые биографы считают, в частности, что именно перенапряжения и неудачи с доказательством континуум-гипотезы послужили причиной возникновения тяжелой психической болезни Кантора.

Как показала история, трудности с континуум-гипотезой имели достаточно объективную природу. В 1908 году Э.Цермело сумел сформулировать аксиоматику теории множеств, что позволило начать исследования оснований теории множеств с помощью параллельно развивающихся методов математической логики. В 1931 году К.Гедель доказал свою знаменитую теорему о неполноте, которая утверждала, что в любой достаточно богатой логической системе, содержащей, как минимум, элементарную арифметику, существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью методов этой же системы. Возникло подозрение, что канторовская континуум-гипотеза является как раз подобным утверждением. В 1963 году П.Коэн доказал этот результат: было показано, что континуум-гипотеза независима от системы аксиом теории множеств Цермело-Френкеля. Другими словами, континуум гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута в теории, опирающейся на эту систему аксиом. Коэн, вообще, склонялся к тому, что континуум-гипотеза, скорее всего, не верна. Дело в том, что À₁ мощность второго числового класса представляет собой множество всех упорядочений счетного множества. Они получаются с помощью достаточно элементарных операций над ординальными числами применением так называемых первого и второго принципов порождения чисел (прибавления единицы и взятия пределов фундаментальных последовательностей). С другой стороны, мощность континуума 2^Àо есть мощность достаточно богатого множества функций на Àо. Коэн пишет: “Таким образом, С [множество (и мощность) континуума — В.К.] больше, чем Àn, Àw, Àa, где a = Àw и т.д. С этой точки зрения, С рассматривается как невероятно большое множество, которое дано нам какой-то смелой новой аксиомой и к которому нельзя приблизиться путем какого бы то ни было постепенного процесса построения. Быть может, следующие поколения научатся яснее видеть эту проблему и выражаться о ней более красноречиво”^[46]. Читая эти строки, невозможно не вспомнить о предшествовавших поколениях. Эта несводимость континуума к некоторой постепенной конструктивной процедуре, о которой говорит Коэн, как бы воскрешает античное и средневековое представление о континууме как неразложимой исходной данности, как о естественном пределе человеческой аналитической способности. Несмотря на дерзкое предприятие множества “неробких натур”, — и прежде всего самого создателя теории множеств Кантора, — представить континуум как некоторую аналитическую конструкцию, после целого века дискуссий наука как бы возвращается к исходной, впрочем, подтвержденной тысячелетним опытом размышлений, точке зрения. Наука как бы делает круг, еще раз подтверждая, что познание — это прерогатива не только науки, но и мудрости.