Границы математического метода мышления по О.Беккеру

Обсуждая вопрос о философских основаниях математического знания и о границах науки вообще, поучительно, по моему мнению, разобрать точку зрения известного немецкого философа науки (в особенности математики) XX столетия О.Беккера, изложенную в его книге “Величие и границы математического образа мышления”^[97]. В конце этой работы философ дает герменевтическое описание всего, так сказать, спектра познавательных возможностей в науке. Беккер идет здесь от классического разделения на науки о природе и науки о культуре, утвердившегося благодаря трудам основателей баденской школы неокантианства (Г.Риккерт, В.Виндельбанд). Если науки о культуре стремятся к пониманию (verstehen), то методом наук о природе является объяснение (erklдren). Однако и объяснение, как считает Беккер, не есть универсальный метод естествознания (включая и математику), и иногда приходится довольствоваться только владением (beherrschen). Философ подробно объясняет разницу между этими тремя познавательными интенциями^[98].

Понимание стремится свести всякое объяснение к типу внутренней духовной мотивации человеческих решений. Такова цель работы историка, стремящегося понять, например, смысл принятия того или иного решения каким-либо историческим лицом, государственным деятелем, полководцем и т.д. Такова же обычно и направленность историка искусства или литературы, где речь идет о раскрытии смысла того или иного художественного стиля, о соотношении биографической “эмпирии” и поэтики и т.д. Вся эта работа связана с особым типом анализа, но он почти не допускает какой-то формализации, а требует скорее вживания и угадывания узловых моментов^[99].

Примером естественнонаучного объяснения является, например, данное впервые Галилеем разложение движения брошенного тела в суперпозицию двух одновременных движений: равномерного по горизонтали и равнопеременного (равноускоренного или равнозамедленного) по вертикали. Из отдельных законов движения по горизонтали и вертикали — линейно и квадратично зависящих от времени соответственно, — получается совмещением параболическая траектория движения брошенного тела.

При понимании мы сводим разбираемый случай к другому, более “элементарному”, “традиционному”, “обычному”, причем это отнюдь не всегда означает только совокупность обыденного опыта, но также и откристаллизовавшиеся в культуре формы “духовно-объективного”: в эпосе, праве, религии и т.д. Здесь трудно, по большей части, выделить какую-то исчерпывающую систему аксиом, понимание основывается, скорее, на сведении к интуитивно “прозрачным” внутренним актам личности. С точки зрения математики и естествознания такое понимание “неточно” и достаточно “произвольно”. Математическое объяснение, напротив, есть всегда сведение проблематичного к строго определенной комбинации элементарных данностей и операций. Математические положения, таким образом, “доказуемы”. Однако Беккер задает законный вопрос: насколько обоснована эта доказуемость?

Предполагается, что в математическом объяснении мы сводим любое положение, в конце концов, к аксиоматическим, которые истинны. Но на чем основана эта истинность? Сегодняшняя наука уже давно утеряла то невинное состояние, в котором она находилась во время зарождения античной цивилизации, когда аксиоматические положения считались самоочевидными. И история пятого постулата Евклида, и более близкая истории аксиоматизации теории множеств, к примеру, заставляют нас сегодня относиться к аксиомам гораздо осторожней и видеть в них скорее некоторые конвенциональные положения, чем абсолютные истины. Может быть, еще более серьезным является положение в физике. Так почти две тысячи лет в европейской науке господствовала аристотелевская точка зрения: скорость движения тела пропорциональна силе. И только со времен Ньютона мы приняли другое понимание движения: пропорциональность силы ускорению, на чем и базируется классическая механика.

Сама история науки показывает, что эти элементарные понятия, “данности” и аксиомы, к которым математические науки стремятся свести всю реальность — “сила”, “инерция”, “сопротивление”, “тяжесть”, “давление” и т.д. — отнюдь не так элементарны, как хотелось бы. По своему этимологическому происхождению они действительно связаны с некоторым внутренне понятным нам смыслом, однако уяснить их точное научное значение из этого опыта не представляется возможным. Более сложные естественнонаучные теории тем более не дают возможности ясного понимания своих элементарных составляющих. Ни уравнения Максвелла в электродинамике, ни четырехмерное пространство-время в теории относительности, ни бесконечномерное гильбертово пространство квантовой механики уже не имеют ничего общего с наглядностью, с понятным и привычным нам жизненным опытом. Научное объяснение здесь уже не представляет собой сведение более сложных феноменов к чему-то более простому и привычному. Ценность научных теорий здесь связана больше с плодотворностью их практического применения. Наука выступает здесь больше как деятельность, обеспечивающая возможность владения и господства, чем понимания или объяснения.

Уже те элементарные феномены, к которым приводит научное объяснение, представляют собой определенную границу понимания. “Эти элементарные способы перемещения^[100], — пишет Беккер, — можно “легко понять” в том смысле, что легко можно схватить их представление и выразить их в простой формуле. Однако изнутри, в собственном смысле они непонятны. Еще меньше ощутима их необходимость; как показывает история механики, можно с таким же успехом рассматривать и другие формы элементарных движений. Таким образом, здесь проходит граница “объясняющего” способа познания. Оно не соотносит каждое “очевидное”, любое понимаемое с внутренним сопереживанием, что в большинстве случаев оказывается возможным в области наук о духе. Здесь выступает существенная чуждость нам неорганической природы; но именно здесь нам дано и существенное познание”^[101]. Еще более выступает эта чуждость в области “владеющего” способа познания. Соотнести положения квантовой теории с экза-стенциальной реальностью человека по примеру того, как это делают в своей работе философ и историк, в высшей степени трудно, подчеркивает Беккер.

Однако несмотря на эту чуждость неорганической природы духу человека, математический способ познания позволяет формулировать теории, имеющие большое прикладное значение, дающие человеку возможности господства над природой. В этом плане математические методы познания не имеют никаких границ, считает Беккер^[102].

В то же время Беккер, может быть даже против своей воли, несколько смягчает противопоставление природы и человека. Причем делается это двояко: и за счет “одухотворения” природы, и путем, так сказать, “натурализации” человека. Первое проявляется в том, что даже математические теории, отражающие чуждую духовной сущности человека, так сказать, “мертвую” природу, тем не менее помимо чисто познавательного содержания, как признает Беккер, дают и некоторое эстетическое удовлетворение. Действительно, критерий красоты естественнонаучной теории, тесно связанный с проблемами групп симметрий уравнений, играет большую эвристическую роль в науке^[103]. Наука, точнее, математическое естествознание как бы всегда несет в себе этот пифагорейский след своего происхождения. Однако красоту можно понимать по-разному. Согласно Беккеру, красота природы, выступающей через призму научных теорий, это не красота цветка, как это думали романтики, в частности Шеллинг, а скорее красота кристалла. “Мыслить ее [природу — В.К.] как интеллигибельный кристалл, как это отваживаются делать лучшие люди наших дней, и есть, вероятно, путь истины — путь, который освещает свет математики”^[104].

С другой стороны, доступ человека к “объясняющим” и “владеющим” методам познания — в противовес “понимающим” — облегчен тем, что, строго говоря, человек не есть только дух, но одновременно и тело. Человек есть соединение тела и духа в особое двуединое существо. Поэтому претензия “наук о духе” свести все познание к “пониманию” неоправданна. В телесном и в особенности в неорганическом “понимание” имеет свою естественную границу. И наоборот, именно во внутренне данном опыте своего телесного существа человек имеет доступ к внешнему неорганическому в природе. Тем самым в самом себе человек находит основу для “объясняющего” и “владеющего” способа познаний так же, как и для “понимающего”.

Беккеровское разделение типов познания непреодолимыми границами может удовлетворить отнюдь не всех. Понимание познания, как “владения”, знания, как силы, хотя играло, — и играет! — существеннейшую роль в нашей цивилизации (с XVII века), однако вместе с тем постоянно в ней присутствует и другая тенденция: преодолеть дуализм “понимания” и “объяснения”, — и шире: знания и голого “умения”, — найти единый корень познавательной интенции человека. В теории множеств, аналогично, принятие аксиом позволяет, конечно, навести некоторый формальный порядок. Но если мы не удовлетворяемся этим голым формализмом и начинаем спрашивать о смысле этих аксиом, — или, другими словами, мы требуем именно понимания их, — то мы, хотя и оказываемся тем самым перед проблемой, где сам вопрос о смысле, в котором она могла бы быть разрешена, необычно сложен, тем не менее мы подчиняемся здесь естественному и фундаментальному человеческому стремлению к уяснению любой наличной “данности”, суть ли это материальные факты или логические пред-положения. Или, к примеру, когда Кантор объявляет аксиомой утверждение о консистентности множеств, имеющих мощностями “алефы”, то опять естественно встает вопрос о “понимании” этого утверждения, и ссылка на то, что мы не понимаем этого уже и для конечных множеств, отнюдь ни в чем не убеждает. Во всяком случае, не всех. Так Г.Вейль, один из самых крупных математиков XX столетия, много размышлявший также и о философских предпосылках науки, писал в 1946 году по поводу проблем обоснования математического знания, выросших из теории множеств: “Из этой истории одно должно быть ясно: мы менее чем когда-либо уверены в незыблемости наиболее глубоких оснований (логики и) математики. Как у всех и всего в мире сегодня, у нас есть свой “кризис”. Он существует почти пятьдесят лет. Внешне может показаться, что он не мешает нашей повседневной работе, и все же что касается меня, я должен признаться, то этот кризис оказал значительное практическое влияние на мою математическую жизнь: он направил мои интересы в области, которые я считал относительно “безопасными”, и постоянно подтачивал энтузиазм и решимость, с которой я занимался своими исследованиями. Этот опыт, вероятно, разделяют и другие математики, не безразличные к тому, что их научные усилия означают в контексте всего человеческого существования в мире — существования, неотделимого от любви и познания, страдания и творческого начала”^[105].