А.Пуанкаре о работе математика

В математике беккеровское знание, как “владение”, оборачивается голым формализмом и, в частности произвольным введением новых аксиом. Желание же “понять” эту формальную структуру, в частности понять необходимость новых аксиом, может быть удовлетворено только через более широкое видение, через рассмотрение изучаемых вопросов на фоне более широкого “пространства возможностей”. Это более широкое “пространство” обычно не входит ясно в формулирование окончательной теории, однако для “понимания” теории его необходимо “иметь в виду”. Собственно, усвоение новой теории по-настоящему только и произошло тогда, когда учащийся, осмысляя положения явно сформулированной теории, сможет “увидеть” этот “задний фон” теории, из которой она, так сказать, “вырастает” со своеобразной необходимостью... Это и значит обрести интуицию теории (доказательства, алгоритма). И прежде всего эту интуицию обретает сам создатель новой теории, так как при решении сложных задач без этой интуиции почти невозможно сделать ни шага.

Об этом немало писал в своих сочинениях по философии науки замечательный французский математик А.Пуанкаре. Так в работе “Ценность науки” он следующим образом характеризует интуицию: “Чистый анализ представляет в наше распоряжение много приемов, гарантируя нам их непогрешимость; он открывает нам тысячу различных путей, которым мы смело можем вверяться; мы уверены, что не встретим там препятствий, но какой из всех этих путей скорее всего приведет нас к цели? Кто скажет нам, какой следует выбрать? Нам нужна способность, которая позволяла бы видеть цель издали, а эта способность есть интуиция. Она необходима для исследователя в выборе пути, она не менее необходима и для того, кто идет по его следам и хочет знать, почему он избрал его?^[106]”.

Интуиция в науке есть некое целостное видение изучаемого предмета, как бы из другого дополнительного измерения, которое позволяет видеть не только весь предмет, но и оценить его связи с инаковым: с другими возможностями, подходами, с фоном. Интуиция, по Пуанкаре, выступает в паре с дополнительной способностью логического анализа. Анализ выполняет функцию разделения, рассечения, выполняет роль познавательного “скальпеля”. Для науки, для математики в частности, необходимы обе: и логика, и интуиция. “Логика, которая одна может дать достоверность, есть орудие доказательства; интуиция есть орудие изобретательства”^[107]. Причем, говоря об интуиции, Пуанкаре имел в виду не только так называемую геометрическую интуицию. Способность интуитивного видения, “схватывания” решения задачи еще до всяких доказательств проявляется аналогично и в области теории чисел, и в сфере чисто логических построений. Вместе с интуицией геометров существует и интуиция аналитиков. “Она-то [интуиция — В.К.] и позволяет им, — пишет Пуанкаре, — не только доказывать, но еще и изобретать. Через нее-то они и подмечают сразу общий план логического здания, и это — без всякого вмешательства со стороны чувств”^[108].

Проявления интуиции свидетельствуют о наличии у разума мощных скрытых резервов. Пуанкаре приводит немало примеров из своей профессиональной математической деятельности, показывающих, что в поиске решения участвует не только сознание ученого, но и более глубокие подсознательные структуры разума. Интуитивному прозрению предшествует обычно напряженная работа над задачей, и хотя профессиональная деятельность естественно прерывается, осмысление проблемы в глубинах подсознательного может тем не менее продолжаться. Так Пуанкаре рассказывает об одном случае, когда он пытался решить задачу, связанную с так называемыми функциями Фукса. Работу над задачей пришлось прервать, так как ученый отправился на геологическую экскурсию: “Среди дорожных перипетий я забыл о своих математических работах; по прибытии в Кутанс мы взяли омнибус для прогулки; и вот в тот момент, когда я заносил ногу на ступеньку омнибуса, мне пришла в голову идея — хотя мои предыдущие мысли не имели с нею ничего общего, — что те преобразования, которыми я воспользовался для определения фуксовых функций, тождественны с преобразованиями неевклидовой геометрии”^[109]. По возвращении Пуанкаре сделал проверку и идея оказалась правильной.

Подсознательное “я” играет в математическом творчестве роль первостепенной важности, считает Пуанкаре. Однако работу подсознания нельзя считать механической. Дело не в том, что подсознание автоматически “просчитывает” варианты возможных подходов к решению задачи. Если подходить к этому чисто формально, то этих вариантов обычно необозримо много. Главное, что происходит здесь помимо контроля сознания, — это выбор подходящего, истинного решения. “Но правила, руководящие этим выбором, — пишет Пуанкаре, — крайне тонкого деликатного характера; почти невозможно точно выразить их словами; они явственно чувствуются, но плохо поддаются формулировке; возможно ли при таких обстоятельствах представить себе решето, способное просеивать их механически?”^[110]. Для подобного уподобления механизму подсознание оказывается “слишком умным”. Все это заставляет предполагать, что подсознательная деятельность ума связана с более глубинными потенциями личности: “...Представляется правдоподобной такая гипотеза: “я” подсознательное нисколько не “ниже”, чем “я” сознательное; оно отнюдь не имеет исключительно механического характера, но способно к распознаванию, обладает тактом, чувством изящного; оно умеет выбирать и отгадывать. Да что там! Оно лучше умеет отгадывать, чем “я” сознательное, ибо ему удается то, перед чем другое “я” оказывается бессильным. Одним словом, не является ли подсознательное “я” чем-то высшим, чем “я” сознательное?”^[111].

Эти свидетельства профессионального опыта крупного математика заставляют вспомнить паскалево выделение особых мыслительных способностей: raison gйomйtrique (ум геометрический) и raison de finesse, (ум проницательный), о которых мы говорили выше^[112]. Именно ум проницательный характеризуется тем, что способен находить решения в ситуациях, связанных с учетом очень большого количества факторов, которые трудно систематизировать и почти невозможно все явно описать. Прежде всего таково “понимание” в сфере искусствоведения, исторических наук, моральных оценок и т.д. Когда читаешь Пуанкаре, то возникает впечатление, что в этом подсознательном “я”, “которое лучше умеет отгадывать, чем “я” сознательное”, как раз и “прячется” raison de finesse. Разум геометрический, осуществляющий строгую логическую проверку выдвигаемых положений, оказывается только как бы внешней, поверхностной частью разума. В решающие же моменты он направляется более глубинной способностью познания, умом проницательным, обычно находящимся как бы “в тени”, или, точнее, не вмещающимся целиком в сознание... Однако науку создает целостный разум, включающий в себя оба подразделения: и ум геометрический, и ум проницательный.

Близость подсознательного “я” из рассуждений Пуанкаре и ума проницательного у Паскаля подтверждается в особенности тем, что оба они ответственны за эстетическую оценку. Что касается ума проницательного, мы говорили об этом уже выше. Пуанкаре же, описывая “сверхнормальные” потенции подсознательного “я”, все время подчеркивает, что именно возможность эстетического восприятия научных конструкций позволяет этому “я” найти путь к логически приемлемому решению. “Может показаться странным, что по поводу математических доказательств, имеющих, по-видимому, дело лишь с мышлением, я заговорил о восприятии. Но считать это странным значило бы забыть о чувстве прекрасного в математике, о гармонии чисел и форм, о геометрическом изяществе... но какие же именно математические предметы мы называем прекрасными и изящными, какие именно предметы способны вызвать в нас своего рода эстетические эмоции? Это те, элементы которых расположены так гармонично, что ум без труда может охватить целое, проникая в то же время и в детали. Эта гармония одновременно удовлетворяет нашим эстетическим потребностям и служит подспорьем для ума, который она поддерживает и которым она руководит. И в то же время, давая нам зрелище правильно расположенного целого, она вызывает в нас предчувствие математического закона... Но что же тогда оказывается? Среди тех крайне многочисленных комбинаций, которые слепо создает мое подсознательное “я”, почти все оказываются лишенными интереса и пользы, но именно поэтому они не оказывают никакого воздействия на эстетическое чувство, и сознание никогда о них не узнает; лишь некоторые среди них оказываются гармоничными, а следовательно, полезными и прекрасными в то же время; они сумеют разбудить ту специальную восприимчивость математика, о которой я только что говорил; последняя же, однажды возбужденная, со своей стороны, привлечет наше внимание к этим комбинациям и этим даст им возможность переступить через порог сознания ” [курсив мой. — B.K.]^[113].

Чувство эстетического выступает всегда как характерная особенность именно человеческого внутреннего мира. Эстетическое восприятие относится в беккеровской трихотомии познания как раз к “пониманию”. Тем самым то жесткое разделение способностей познания на “понимание”, “объяснение” и “владение”, на котором настаивал О.Беккер, опровергается, вообще говоря, самой практикой науки, свидетельствами самих ученых^[114]. Само “объяснение” и “владение” невозможно без частичного “понимания”, без некоторого “внутреннего освоения” изучаемой реальности, т.е. соотношения ее с внутренним экзистенциальным человеческим опытом. Например, это может происходить через эстетическую оценку, которая уже смягчает чуждость этого “кристаллического мира” природы, о которой говорил Беккер.

Возможность знания как “владения” миром укоренена, по Беккеру, в двойственности нашей духовно-телесной природы. Именно в интуиции тела человек имеет как бы постоянную парадигму “владения”. Однако соотношение духовного и телесного в человеческом существе в высшей степени сложно. И хотя мы как бы знаем крайние полюса этого двуединства, мы тем не менее не способны отделить одно от другого. Мы не знаем конкретно, как духовное связано с телесным. Но мы очень хорошо чувствуем, что есть более и менее одухотворенная телесность... ^[115]. Проблема познания и антропологическая проблема оказываются тем самым тесно зависимыми одна от другой.

Итак, научное познание обязано своим ростом, согласно Пуанкаре, не только рассудочной, чисто логической способности ума, но и более глубинным, более органическим его потенциям. Ближайшим образом здесь выступает эстетическая способность. Но, может быть, есть и другие скрытые возможности разума, которые тоже в той или иной степени участвуют в научном познании? В зависимости от общего представления о разуме мы будем иметь и соответствующую схему научного познания и, в частности, представление о его границах, в рамках познания вообще.