Теорема Рояля.

Пусть функция у=f(x) удолетворяет следующим условиям:

1. неприрывна на отрезке [а;в]

2. диференцируемая на интервале (а;в)

3. на концах отрезка принимает равные значения

Теорема Лагранжа.

Пусть функция у=f(x) удолетворяет следующим условиям:

1. неприрывная на отрезке [а;в]

2. диференцируема на интервале (а;в)

Тогда внутри отрезка существует по крайне мере одна такая точка ξ;принадлеж. (а;в) в которой производная=частному от аргумента на этом отрезке.

Теорема Коши. Правило Лопиталя.

Теорема Коши

Пусть функция f(x) и h(x) неприрывна на отрезке [а;в],дифференцируема в интервале (а;в),причем f`(x)не =0,в(а;в).Тогда найдется такая точка ξ;из (а;в). Для которой выполняется равенство

f(b)-f(a): h(b)-h(a)=f`(ξ):h`(ξ)

Правило Лопиталя- теорема утверждает что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

15. Возврастание и убывание функции. Исследование возрастание и убывания функции с помощью производной.

Возврастание и убывание функции.

Функция у=f`(x) называется возврастающей (убывающейся)на промежутке х,если для любых х1 и х2,причем х2>х1,верно неравенство :f(х2)>f(x1) и f(x2)<f(x1).

Исследование возрастание и убывания функции с помощью производной.

Достаточное условие возврастания функции.

-если производная дифференцируемой функции положительная внутри,некоторого промежутка Х,то она возврастает на этом промежутке

Достаточное условие убывание функции.

- еслипроизводная дифференцируемой функции отрицательная внутри некоторого промежутка Х,то она убывает на этом промежутке

Экстримум функции. Необходимое условие экстримума. Достаточное условия экстримума.

Экстримум функции

Точка х0 называется точкаой мах функции f(x),если в некоторой окресности точка х0 выполняется неравенство f(x)≤f(x0)

Точка х, называется точной мин функции f(x),если в некоторой окрестности точки х,выполняется неравенство f(x)≥f(x1)

Необходимое условие экстримума.

Для того чтобы функция у=f(x) имела экстримум в точке х0,необходимо,чтобы ее производная в этой точке равнялось 0 (f`(x0)=0 или не существует.

Достаточное условия экстримума.

1.Первое достаточное условие экстримума. Если при переходе через точку х0,производная меняет свой знак с + на -,то точка х0,точка мах

2.Второе достаточное условие экстримума. Если первая производная f`(x) дважды дифференцируемой функции =0 в некоторой точке х0, а вторая производная в этой точке f``(x0) положительна,то х0 точка мин функции f`(x),если f``(x0) отрицательна то х0 точка мах.

Формулы Тейлора и Маклорена.

Выпуклость графика функции.Исследование выпуклости с помощью второй производной. Точки перегиба.

Выпуклость графика функции.

-Функция у=f(x)наз. выпуклой вниз на промежутке Х,если для любых двух значения х х1,х2 принадлеж .х,из этого промежутка выполняется неравенство: f(x1+x2:2)≤f(x1)+(x2)):2

-Функция называется выпуклой вверх на промежутке Х,если для любых х1,х2 принадл. Х из этого промежутка выполняется неравенство: f(x1+x2:2)≥(f(x1)+f(x2)):2

Исследование выпуклости с помощью второй производной. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительной (отрицательной)внутри некоторого промежутка Х,то функция выполнена возвр.(убыв.)на этом промежутке.

Точки перегиба

Точкой перегиба графика неприрывной функции называется точка разделяющяя интервалы в которых функция выпукла вверх и вниз.

Необходимое условие перегиба(теорема) Вторая производная f``(х) дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х0=0,т.е.f``(x)=0

Достаточное условие перегиба (теорема) Если вторая производная f``(х) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х0 меняет знак,то х0 есть точка перегиба ее графика.

Асимптоты.Общяя схема исследования функций.

Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая,обладающяя теми свойствами,что расстояние от точки (х,f(x)) до этой прямой стримится к 0,при неограниченному удалении точки графика от начала координат.

Бывают:

-вертикальная

-горизонтальная

-наклонная