Теорема Рояля.
Пусть функция у=f(x) удолетворяет следующим условиям: 1. неприрывна на отрезке [а;в] 2. диференцируемая на интервале (а;в) 3. на концах отрезка принимает равные значения Теорема Лагранжа. Пусть функция у=f(x) удолетворяет следующим условиям: 1. неприрывная на отрезке [а;в] 2. диференцируема на интервале (а;в) Тогда внутри отрезка существует по крайне мере одна такая точка ξ;принадлеж. (а;в) в которой производная=частному от аргумента на этом отрезке. Теорема Коши. Правило Лопиталя. Теорема Коши Пусть функция f(x) и h(x) неприрывна на отрезке [а;в],дифференцируема в интервале (а;в),причем f`(x)не =0,в(а;в).Тогда найдется такая точка ξ;из (а;в). Для которой выполняется равенство f(b)-f(a): h(b)-h(a)=f`(ξ):h`(ξ) Правило Лопиталя- теорема утверждает что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных. 15. Возврастание и убывание функции. Исследование возрастание и убывания функции с помощью производной. Возврастание и убывание функции. Функция у=f`(x) называется возврастающей (убывающейся)на промежутке х,если для любых х1 и х2,причем х2>х1,верно неравенство :f(х2)>f(x1) и f(x2)<f(x1). Исследование возрастание и убывания функции с помощью производной. Достаточное условие возврастания функции. -если производная дифференцируемой функции положительная внутри,некоторого промежутка Х,то она возврастает на этом промежутке Достаточное условие убывание функции. - еслипроизводная дифференцируемой функции отрицательная внутри некоторого промежутка Х,то она убывает на этом промежутке Экстримум функции. Необходимое условие экстримума. Достаточное условия экстримума. Экстримум функции Точка х0 называется точкаой мах функции f(x),если в некоторой окресности точка х0 выполняется неравенство f(x)≤f(x0) Точка х, называется точной мин функции f(x),если в некоторой окрестности точки х,выполняется неравенство f(x)≥f(x1) Необходимое условие экстримума. Для того чтобы функция у=f(x) имела экстримум в точке х0,необходимо,чтобы ее производная в этой точке равнялось 0 (f`(x0)=0 или не существует. Достаточное условия экстримума. 1.Первое достаточное условие экстримума. Если при переходе через точку х0,производная меняет свой знак с + на -,то точка х0,точка мах 2.Второе достаточное условие экстримума. Если первая производная f`(x) дважды дифференцируемой функции =0 в некоторой точке х0, а вторая производная в этой точке f``(x0) положительна,то х0 точка мин функции f`(x),если f``(x0) отрицательна то х0 точка мах. Формулы Тейлора и Маклорена. Выпуклость графика функции.Исследование выпуклости с помощью второй производной. Точки перегиба. Выпуклость графика функции. -Функция у=f(x)наз. выпуклой вниз на промежутке Х,если для любых двух значения х х1,х2 принадлеж .х,из этого промежутка выполняется неравенство: f(x1+x2:2)≤f(x1)+(x2)):2 -Функция называется выпуклой вверх на промежутке Х,если для любых х1,х2 принадл. Х из этого промежутка выполняется неравенство: f(x1+x2:2)≥(f(x1)+f(x2)):2 Исследование выпуклости с помощью второй производной. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительной (отрицательной)внутри некоторого промежутка Х,то функция выполнена возвр.(убыв.)на этом промежутке. Точки перегиба Точкой перегиба графика неприрывной функции называется точка разделяющяя интервалы в которых функция выпукла вверх и вниз. Необходимое условие перегиба(теорема) Вторая производная f``(х) дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х0=0,т.е.f``(x)=0 Достаточное условие перегиба (теорема) Если вторая производная f``(х) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х0 меняет знак,то х0 есть точка перегиба ее графика. Асимптоты.Общяя схема исследования функций. Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая,обладающяя теми свойствами,что расстояние от точки (х,f(x)) до этой прямой стримится к 0,при неограниченному удалении точки графика от начала координат. Бывают: -вертикальная -горизонтальная -наклонная
|
