ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Выполнил

ст. группы ­­­­4219-1 Б. А. Подлисецкий

(шифр) (подпись и дата) (Ф.И.О.)

Заведующий кафедрой математического анализаС.Н. Гребенюк

(должность) (подпись и дата) (Ф.И.О.)

г. ЗАПОРОЖЬЕ

СОДЕРЖАНИЕ:

ВВЕДЕНИЕ

На практике в большинстве случаев получить точное решение поставленной математической задачи не удается. Поэтому важного значения приобретают численные методы решения возникающих на практике сложных задач.

В первом разделе дается краткая характеристика краевых задач, методы их решения, классификация.

Второй раздел посвящен теоретическим сведениям касательно метода Ритца решения краевых задач.

В третьем разделе расположены примеры задач и их решения методом Ритца.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Точное (аналитическое) решение краевых задач вызывает еще б льшие трудности, чем решение задач Коши. Отсюда – повышенный интерес и большое разнообразие приближенных методов решения таких задач. По типу представления результатов приближенного решения методы можно разделить на две группы: приближенно-аналитические, дающие приближенное решение краевой задачи на отрезке в виде некоторой конкретной функции, и собственно численные или сеточные методы, дающие каркас приближенного решения на заданной на сетке. По идейной основе приближенных методов их можно классифицировать следующим образом:

1) Методы сведения к задаче Коши (метод пристрелки, метод дифференциальной прогонки, метод редукции);

2) Метод конечных разностей;

3) Метод балансов или интегро-интерполяционный метод;

4) Метод коллокации;

5) Проекционные методы (моментов, Галёркина);

6) Вариационные методы (наименьших квадратов, Ритца);

7) Проекционно-разностные методы (метод конечных элементов);

8) Методы сведения к интегральным уравнениям Фредгольма и др.

Для отыскания решения краевой задачи

(1.1)

(1.2)

надо подставить общее решение уравнения (1.1) в краевые условия (1.2) и из этих условий определить (если это возможно) значения произвольных постоянных, входящих в формулу общего решения. В отличие от задачи с начальными условиями (задачи Коши), краевая задача не всегда имеет решение, а если разрешима, то не обязательно единственным образом.