МЕТОД РИТЦА

Идея метода Ритца заключается в том, что значение некоторого функционала рассматривается не на произвольных допустимых кривых данной вариационной задачи, а лишь на всевозможных линейных комбинациях

 

с постоянными коэфициентами составленных из n первых функций некоторой выбранной последовательности функций

(2. 2)

Функции (2.1) должны быть допустимыми в рассматриваемой задаче, что налагает некоторые ограничения на выбор последовательности функций . На таких линейных комбинациях функционал превращается в функцию коэффициентов . Эти коэффициенты выбираются так, чтобы функция достигала экстремума; следовательно, должны быть определены из системы уравнений

 

Совершая предельный переход при , получим в случае существования предела функцию
являющуюся (при некоторых ограничениях, налагаемых на функционал и на последовательность точным решением рассматриваемой вариационной задачи. Если не совершать предельного перехода, а ограничится лишь первыми членами
то получим приближенное решение вариационной задачи.

Если таким методом определяется абсолютный минимум функционала, то приближенное значение минимума функционала находится с избытком, так как минимум функционала на любых допустимых кривых не больше, чем минимум того же функционала на части этого класса допустимых кривых – на кривых вида
При нахождении тем же методом максимального значения функционала получаем по тем же причинам приближенное значение максимума функционала с недостатком.

Для того чтобы функции были допустимыми, прежде всего необходимо удовлетворять граничным условиям. Если граничные условия линейны и однородны, например, в простейшей задаче или

где - постоянные, то проще всего и координатные функции выбрать удовлетворяющими этим граничным условиям. Очевидно, что при этом и при любых будут удовлетворять тем же граничным условиям. Пусть, например, граничные условия имеют вид

Тогда в качестве координатных функций можно выбрать

 

Где - какие-нибудь непрерывные функции, или

 

 

или какие-нибудь другие функции, удовлетворяющие условиям

Если условия неординарны, например
где хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то проще всего искать решение вариационной задачи в виде

Где удовлетворяет заданным граничным условиям , а все остальные удовлетворяют соответствующим однородным граничным условиям, т. е. в рассматриваемом случае Очевидно, что при таком выборе при любых функции удовлетворяет заданным граничным условия. В качестве функции можно выбрать, например, линейную функцию

Решение системы уравнений

вообще говоря, является весьма сложной задачей. Эта задача значительно упрощается, если на экстремум исследуется квадратичный относительно неизвестной функции и ее производных функционал , так как в этом случае уравнения (2. 7) линейны относительно .

Выбор последовательности функций , называемых координатными функциями, сильно влияет на степень сложности дальнейших вычислений, и поэтому от удачного выбора координатной системы функций в значительной мере зависит успех применения этого метода.

ЗАДАЧИ